主動土壓力系數

按擋土牆與在牆後填土的作用下發生水平位移（或轉動）的大小可產生主動土壓力、靜止土壓力、被動土壓力，相應的有主動土壓力系數、靜止土壓力系數、被動土壓力系數。其中主動土壓力系數K_a是計算主動土壓力的基礎。工程實際中很多情況需採用主動土壓力進行擋土牆的穩定和強度驗算等。主動土壓力系數的取值直接影響主動土壓力的計算結果，進而影響着擋土牆的穩定性、安全性和造價。

由於土壓力理論及其假設的不同，主動土壓力系數的確定方法也有多種。朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論是兩個著名的古典土壓力理論，由於概念明確，方法簡單，在工程實踐中仍被廣泛採用。這兩個土壓力理論提出了各自假定條件下主動土壓力系數的確定方法。此外，其他學者在主動土壓力系數的計算與確定方面也做了很多，得出了有意義的改進成果。 ^[4] 

由 C. A. 庫侖於1776年根據擋土結構物後滑動土楔所受力的平衡條件得出的經典土壓力公式。

（1）牆背傾斜, 具有傾角α；

（2）牆後填土為砂土，表面傾角為β；

（3）牆背粗糙有摩擦力，牆與土間的摩擦角為δ；

（4）平面滑裂面假設：當牆面向前或向後移動，使牆後填土達到破壞時，填土將沿兩個平面同時下滑或上滑；一個是牆背AB面，另一個是土體內某一滑動面BC。設BC面與水平面成θ角；

（5）剛體滑動假設：將破壞土楔ABC視為剛體，不考慮滑動楔體內部的應力和變形條件（這與朗肯理論認為滑動楔體內各點都達到極限狀態不同）；

（6）楔體ABC整體處於極限平衡條件。

根據以上庫侖土壓力理論假定，按彈性力學的平面問題，可求得作用在擋土牆上的土壓力。

即當擋土牆后土體處於極限平衡狀態時形成一滑動土楔，滑動面是一平面，牆後填土是理想散體。對於任意一滑動面

BC，與水平面的傾角為θ （圖a），作用在滑動土楔ABC上的力有：土楔自重W、BC面上的土反力R、牆背對土楔的反力E，根據靜力平衡條件求得E （圖b） 並求其極值，得如下土壓力公式：

E_a=1/2γH^2Ka

E_p=1/2γH^2K_p

式中E_a、E_p分別為主動土壓力和被動土壓力；γ為土的重度；H為擋土牆高度；K_a、K_p分別為庫倫主動土壓力系數和被動土壓力系數，與土的內摩擦角φ、 填土面與水平面的傾角β、 擋土牆背的傾角α以及牆背材料與填土之間的摩擦角δ有關，可按有關公式計算或圖表查得。對於無粘性填土用該理論計算主動土壓力較符合實際，但計算被動土壓力誤差較大，以後推廣到應用於粘性填土。 ^[3] 

由W. J. M. 朗肯於1857年根據土的極限平衡理論提出的經典土壓力理論。

（1）牆背直立；

（2）擋牆背面光滑即不考慮牆與土之間的摩擦力；

（3）牆後填土表面水平並無限延伸；

（4）滑裂面為直線。

擋土牆牆背可用無限土體中豎直光滑面表示，牆後填土面以下深度z點處取一立方體形的微分單元體, 其上有豎向法嚮應力σ_z和水平向法嚮應力σ_x , 且都為主應力。土體處於彈性狀態時, 該點的應力圓遠離土的抗剪強度包線。當土體靜止不動時, 深度z 處土單元體的應力為σ_z=γ_z，σ_x=K₀γ_z。其中，K₀為靜止土壓力系數。

當擋土牆在牆後填土壓力作用下，如向遠離填土方向發生位移，牆受到的土壓力會隨位移的增加而減小。此時單元土體的豎嚮應力σ_z不變，而水平向法嚮應力σ_x減小。當牆后土體達到極限平衡狀態，牆后土體中產生的兩組滑動面與水平面成45°+φ/2的夾角，並出現連續滑裂面（滑裂面與水平方向的夾角為45°-φ/2），滑動面以上（主動區）土體均達到主動極限平衡狀態，土壓力減至最小值，此值即為主動土壓力。 ^[4] 

即當彈性半無限體由於在水平方向伸長或壓縮並達到極限平衡狀態時，設想用一垂直光滑的擋土牆面代替彈性半無限體一側的土體而不改變原來的應力狀態， 根據土的極限平衡理論，得出無粘性土的主動和被動土壓力強度分別為：

σ_a=γzK_a

σ_p=γzK_p

主動和被動土壓力分別為：

E_a=1/2γHK_a

E_p=1/2γHK_p

上列各式中

為主動土壓力系數；

為被動土壓力系數，φ為土的內摩擦角。γ為土的重度；z為計算點離地面的深度；H為擋土牆的高度。 ^[5] 

朗肯土壓力理論的適用條件為： ① 擋土牆牆背垂直；②牆後填土表面水平；③擋土牆牆背光滑，沒有摩擦，因而無剪力，即牆背為主應力。 ^[6] 

用等值內摩擦角(φ_D)等代粘性土的c和φ值,即等值內摩擦角法。

式中：h_i計算土層厚度(m)；γ土體重度（KN/m³）。

利用上式求出φ_D，再利用庫侖、朗肯被動土壓力系數公式計算k_p，即所謂同時考慮c、φ值法。

從教材、文章、專著和岩土工程實錄中常用的是朗肯土壓力法和庫倫土壓力法，很少見到等效內摩擦角法計算k_p的方法，應該説以上三種計算被動土壓力系數的方法都是針對粘性土的抗剪強度特徵進行了全面的探討。可見正確求算粘性土的被動土壓力系數是人們更多關注的問題，也説明求算粘性土被動土壓力系數的難度和重要性。 ^[1]