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中介數

中介數，顧名思義起到中介的作用，是從一個數字到另外一個數字的中間數字。這裏説的中介數，特指在組合數學的全排列生成方法中的中介數，它是一個排列與其序號之間橋樑。

中介數定義

在組合數學的全排列生成問題裏，一個排列與其序號之間是一一對應的關係，在某些全排列生成算法中，如字典序法等，定義了從序號到排列的構造規則，但是二者之間直接轉換比較複雜，因此引入了中介數的概念，中介數顧名思義是起到中介的作用，它的定義如下：

每個排列的序號都可以表示為a₁*(n-1)!+a₂*(n-2)!+a₃*(n-3)!+...+a_n-1*1!，而a₁, a₂, a₃,...,a_n-1的某個排列就是該排列的中介數。

説到中介數，則要提到遞增進位制數和遞減進位制數(Wiki: Decreasing Carry)。

進位制/位置計數法是一種記數方式，故亦稱進位記數法/位值計數法，可以用有限的數字符號代表所有的數值。可使用數字符號的數目稱為基數(radix)或底數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，還有二進制，十六進制，八進制，甚至是七進制。

此外，在進位制中的基數不一定是固定的大小。

在組合數學的全排列生成算法中，中介數分為兩類:

中介數有如下的一些性質：

唯一性：每一個排列有唯一的中介數。因為每個排列有唯一的序號，雖然這個序號在不同的方法中是不一樣的，因此根據遞增進位制數或遞減進位制數的特點，可以唯一確定其中介數。
構造性：從中介數可以構造出排列。在全排列生成方法中，定義了從中介數構造排列的規則，利用該規則再加上中介數，可以唯一構造出一個排列，這也是中介數產生的原因。而中介數到序號之間的轉換就變得相對簡單，參見上節定義。
階乘性：這指的是中介數的範圍是元素個數(N)的階乘(N!)，即0~N!。這由中介數的定義決定。而這個範圍也是全排列的個數，因此中介數的集合與排列的集合之間是一一對應的關係。