遞增進位制數

在生活的方方面面，我們都要和數字打交道，提到數字，隨之產生的問題就是數字是怎麼表示的。數制也稱計數制，是指用一組固定的符號和統一的規則來表示數值的方法。按進位的方法進行計數，稱為進位計數制。在日常生活和計算機中採用的是進位計數制。在日常生活中，人們最常用的是十進位計數制，即按照逢十進一的原則進行計數的。

通常我們見到的都是固定進制的數，比如説“今天買個鼠標，花了136元”，這裏的136指的就是三位十進制數，在計算機科學中按照8421編碼的1001，指的就是四位二進制數，每位的進制也是固定不變的。

而遞增進位制數指的是數字的進制隨着數字位置的不同遞增，一般的，最右位的進製為2，向左依次增1，則進位的規則是最右位逢二進一，第二位逢三進一，依次增加。例如遞增進位制數4121，它的進制從右向左依次是2、3、4、5。即其最高位（就是數字4那位）最大值可能是4；第三高位最大可能是3；第二高位最大可能是2；最末位最大可能是1。如果將4121加上1的話，會使最末位得到0，同時進位；第二位的2與進位相加，也會得到0，同時進位；第三位的1與進位相加得到2，不再進位，最終得到結果是4200 ^[1]  。

與固定進位制數相比，遞增進位制數可表示的數字有位數的階乘個，即m位n進制數可以表示的數字是m*n個。而m位遞增或遞減進位制數則可以表示數字m!個。由於這個特點，它可以和組合數學中的全排列問題結合在一起，實際上，很多全排列生成算法，如遞增進位制數法等都使用了它。