不連續系統

同步是指兩個或多個相互作用的動力學系統，在藕合的作用下，經過一段時間的演化，最終達到完全相同的狀態。同步現象廣泛地存在於稱合動力學系統中，例如：生物系統、電路系統、物理系統、化學系統以及社會系統等。該現象是由網絡中節點動力學之間的藕合作用產生的。隨着同步現象的深入研究，發現了多種類型的同步現象如：完全同步、相同步，滯後同步和部分同步等。其中部分同步由於其在腦科學、工程、生態和社會等領域的重要應用價值，研究工作主要基於典型連續動力學系統所組成的網絡。然而在動力學系統中，除連續系統外，還有另一系統，即不連續系統。送類系統的狀態常常在相空間的某些區域上表現出突變或不連續的特性，廣泛存在於實際系統中，例如：神經元，電路，張弛振子和衝擊振子。

連續系統的非線性動力學研究已有了許多進展，不連續動力學系統作為動力學範疇的另一個分支也已經引起了研究者的重視。在不連續系統中發現了許多與連續系統中相同的現象，如倍週期分岔，鞍節點分岔，同宿軌道等等，這些現象都是系統狀態遠離不連續邊界時產生的。除此之外，還發現了一些不連續系統所特有的現象，即不連續誘導的分岔（discontinuity－induced bifurcations（DIBS））。簡單介紹這幾種不連續誘導的分岔產生的機制。

邊界碰撞分岔：對於給定的不連繫統，當系統的參數發生變化時，系統的固定點也隨着變化，當固定點的值精確的落在不連續邊界上時，系統從一個吸引子變化成另一個吸引子形成邊界碰撞分岔。

極限環的擦邊分岔：不連續系統在特定的參數下會產生極限環狀態，當極限環的流與不連續邊界相切時將產生極限環的擦邊分岔。

滑動和粘聯分岔：菲利波夫系統中的極限環狀態在滑動時是結構不穩定的，極限環的一部分軌道和不連續邊界接觸，在不連續邊界上滑動，形成新的吸引子。

邊界交叉分岔：菲利波夫系統中另一個可能的分岔就是邊界交叉分岔。即某一維度上的極限環進入了餘下維度的不連續邊間所構成的空間，產生邊界交叉分岔。 ^[1] 

隨着複雜網絡研究的深入，幫合不連續系統的同步也引起了研究者的興趣，並且發現了一些有趣的現象。

穩定混沈是幫合分段線性系統中發現的一種特殊的超長暫態，計算稱合系統的李雅普諾夫指數發現其為負值，但是系統卻呈現不規則的狀態，而且送一過程持續很長的時間。它與系統的動力學方程有很大關係，當局部動力學呈現出分段線性時就能夠出現迭種現象。賴載興在藕合不連續系統中發現了另一類穩定的不規則的超長暫態，送一暫態的產生和系統的不連續邊界有很大關係：藕合系統中節點的狀態值在演化過程中，逐步向不連續邊界靠拔，然後狀態值又突然的偏離不連續邊界，這樣的過程一直重複下去形成不規則的超長暫態，研究發現不連續邊界將系統的相空間劃分成好多部分，節點的狀態值實際上是在這些部分之間W某種方式來回跳躍。

同步轉換的不連續性。Cencini和Torcini研究發現，藕合分段線性系統的同步轉換具有不連續性，在低維藕合系統當中可以找出一個系統同步臨界藕合強度。但對於高維繫統，由於系統的不連續性，很難找到確定的臨界藕合強度。研究了幫合帳篷型映射，位移映射等簡單系統，很少關注由邊界碰撞形成的集體動力學行為。而且具有邊界碰撞行為的動力學系統常呈現出比較豐富的動力學現象，因此研究具有邊界碰撞的藕合不連續系統，期望在其中有更多的新現象發生。 ^[1] 

耦合不連續系統的同步轉換過程中的動力學行為，發現由混沌非同步到混沌同步的轉換過程中特殊的多吸引子共存現象。通過計算耦合不連續系統的同步序參量和最大李雅普諾夫指數隨耦合強度的變化，發現了較複雜的同步轉換過程：臨界耦合強度之後出現週期非同步態 (週期性窗口)；分析了系統週期態的迭代軌道，發現其具有兩類不同的迭代軌道：對稱週期軌道和非對稱週期軌道，這兩類週期吸引子和同步吸引子同時存在，系統表現出對初值敏感的多吸引子共存現象。分析表明，耦合不連續系統中的週期軌道是由於局部動力學的不連續特性和耦合動力學相互作用的結果。最後，對耦合不連續系統的同步轉換過程進行了詳細的分析，結果表明其同步呈現出較複雜的轉換過程。 ^[2] 

隨着不連續系統中各種新現象的發現，在研究耦合不連續系統的同步時，發現：在低維耦合系統中可以找出一個系統同步臨界耦合強度，但對於高維繫統，由於系統存在很強的不連續特性，很難找到確定的臨界耦合強度。本文最近對耦合不連續系統的研究發現了其有別於耦合連續系統的動力學新特性。例如：發現了擴散耦合不連續系統中的自激發的循環同步斑圖，其形成機制就與不連續特性密切相關。此外，在全局耦合不連續系統中發現了週期吸引子，其形成機理也與不連續特性有關。但現有的耦合不連續系統的同步研究工作，缺乏對同步轉換過程的系統研究。由於同步轉換在神經系統的信息處理過程中扮演着非常重要的角色，且神經元模型常表現出放點的不連續性，因此有必要對耦合不連續系統的同步轉換過程進行仔細的研究，此結果將有助於從理論角度研究神經系統同步轉換的一般規律。 ^[2] 

耦合不連續系統的同步轉換過程，發現了一類複雜的同步轉換過程。隨着耦合強度的增加，耦合不連續系統呈現出了豐富的多吸引子共存現象。通過分析耦合不連續系統中的週期迭代軌道特性，發現其是由局部動力學(不連續所產生的非線性)和耦合動力學項相互作用的結構。當局部動力學和耦合動力學項達到平衡時，迭代軌道將被限制在相空間的特定區域，從而形成周期軌道。由於耦合不連續系統具有篩狀的吸引域特性，耦合不連續系統很容易呈現出吸引子共存現象。研究了耦合不連續動力學同步轉換過程，有助於理解耦合系統的集體動力學，豐富人們對複雜系統同步過程的認識。由於實際系統經常表現出不連續特性，因此，此研究有助於實際系統的同步過程。 ^[2]