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李雅普諾夫指數

鎖定
表示相空間相鄰軌跡的平均指數發散率的數值特徵。又稱李雅普諾夫特徵指數,是用於識別混沌運動若干數值的特徵之一。 [1] 
中文名
李雅普諾夫指數
外文名
Lyapunov exponent
性    質
科學
類    別
數學、力學

目錄

  1. 1 應用
定義
考慮兩個系統
此圖取自洛倫茲1961年的打印結果 此圖取自洛倫茲1961年的打印結果
設其初始值微小誤差為
經過一次迭代後有
其中
第二次迭代得到
········
經過第n次迭代得
可見,兩個系統對初始擾動的敏感度由導數|df/dx|在x0處的值決定,它與初始值x0有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均,要進行n次迭代
每次迭代平均分離值為
兩個系統如果初始存在微小的差異,隨着時間(或迭代次數)產生分離,分離程度常用李雅普諾夫(Lyapunov)指數來度量,它為幾何平均值的對數
式中xn為第n次迭代值。令n趨於無窮,得到李雅普諾夫指數的計算公式:

李雅普諾夫指數應用

利用李雅普諾夫指數λ,相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間(迭代次數)作指數分離:
在一維映射中只有一個λ值,而在多位相空間情況下一般就有多個λ,而且沿着相空間的不同方向,λ值一般也不同。
設ε0為多維相空間中兩點的初始距離,經過n次迭代以後兩點間的距離為:
式中指數λi可正可負,當其為正時表示沿該方向擴展,為負數時表示沿該方向收縮。在經過一段時間(數次迭代)以後,兩個不同李雅普諾夫指數將使相空間中原來的圓演變為橢圓。
穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點,如果出現越來越遠離平衡點,則系統是不穩定的。系統只要有一個正值就會出現混沌運動。
判斷一個非線性系統是否存在混沌運動時,需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。
在高維相空間中大於零的李雅普諾夫指數可能不止一個,這樣體系的運動將更為複雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間後,有指數(λ1,λ2,λ3,···)的值決定的各種類型的吸引子可以歸納為:
(λ1,λ2,λ3,···)
吸引子的類型
維數
(-,-,-,···)
D=0
(0,-,-,···)
D=1
(0,0,-,-,···)
二維環面
D=2
(0,0,0,-,···)
三維環面
D=3
(+,0,-,-,···)
奇怪吸引子(混沌)
D=2~3(非整數)
(+,+,0,-,···)
超混沌
D=高於3的非整數
參考資料
  • 1.    《中國大百科全書》總編委會.《中國大百科全書》:《中國大百科全書》出版社,2009