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李雅普諾夫指數
鎖定
- 中文名
- 李雅普諾夫指數
- 外文名
- Lyapunov exponent
- 性 質
- 科學
- 類 別
- 數學、力學
目錄
- 1 應用
定義
考慮兩個系統
經過一次迭代後有
其中
第二次迭代得到
········
經過第n次迭代得
每次迭代平均分離值為
式中xn為第n次迭代值。令n趨於無窮,得到李雅普諾夫指數的計算公式:
李雅普諾夫指數應用
利用李雅普諾夫指數λ,相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間(迭代次數)作指數分離:
在一維映射中只有一個λ值,而在多位相空間情況下一般就有多個λ,而且沿着相空間的不同方向,λ值一般也不同。
設ε0為多維相空間中兩點的初始距離,經過n次迭代以後兩點間的距離為:
穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點,如果出現越來越遠離平衡點,則系統是不穩定的。系統只要有一個正值就會出現混沌運動。
判斷一個非線性系統是否存在混沌運動時,需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。
在高維相空間中大於零的李雅普諾夫指數可能不止一個,這樣體系的運動將更為複雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間後,有指數(λ1,λ2,λ3,···)的值決定的各種類型的吸引子可以歸納為:
(λ1,λ2,λ3,···) | 吸引子的類型 | 維數 |
(-,-,-,···) | D=0 | |
(0,-,-,···) | D=1 | |
(0,0,-,-,···) | 二維環面 | D=2 |
(0,0,0,-,···) | 三維環面 | D=3 |
(+,0,-,-,···) | 奇怪吸引子(混沌) | D=2~3(非整數) |
(+,+,0,-,···) | 超混沌 | D=高於3的非整數 |
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