不可達基數

不可達基數是強弱不可達基數的統稱。如果κ是不可數的、正則的極限基數，則稱κ是弱不可達基數；如果κ是不可數的、正則的強極限基數，則稱κ是強不可達基數。這兩類大基數合稱不可達基數(或不可到達基數)，也有文獻只把強不可達基數稱為不可達基數。不可達基數的概念是波蘭數學家謝爾品斯基(Sierpiski，W.)和波蘭學者塔爾斯基(Tarski，A.)於1930年引入的。由於任何基數λ的後繼基數λ⁺不超過λ的冪2^λ，所以每個強不可達基數必為弱不可達基數；又由於在廣義連續統假設GCH之下，λ⁺=2^λ，所以在GCH之下，每個弱不達基數也是強不可達基數。之所以如此稱呼這類大基數，是因為不能用通常的集合論運算來“到達”它們。事實上，若κ是強不可達基數，又集合X的基數|X|<κ，則冪集P(X)的基數也小於κ；又若|S|<κ，且對每個X∈S，|X|<κ，則|∪S|<κ。這就是説，由小於κ的基數，無論進行何種運算，總達不到κ。可數無窮基數N₀也具有上述兩條性質，因此，也可以説在有限基數的範圍內，用除去無窮公理之外的任何集論運算，N₀也是“不可到達”的。這就清楚地看出，不可達基數確實是無窮基數₀的一種自然推廣。“存在不可達基數”已不是ZFC系統的定理。若想肯定這一事實，只有引入大基數公理。事實上，若κ是強不可達基數，則直到κ層的集V_κ就是ZFC系統的模型。這樣，若存在強不可達基數，則ZFC系統便相容。但不可能在ZFC系統中證明ZFC系統的相容性，於是推知：“存在不可達基數”不是ZFC系統的定理。

弱不可達基數是一種正則基數。既是極限基數又是正則基數的不可數基數。若N_α為弱不可達基數，則cf(_α)=_α，且α是極限序數。因為cf(N_α)≤Nα，N_α≥α，所以N_α=α。可見N_α是非常大的。由定義還可看出，不可達基數κ不可能由比它小的基數通過基數的加法、乘法、乘冪和取極限等運算得到。豪斯多夫(Hausdorff，F.)在1908年提出了弱不可達基數的概念。現已知道弱不可達基數的存在性在ZFC系統中是不可證的。

強不可達基數是一種正則基數。簡稱不可達基數。既是正則的又是強極限的無窮基數。即如果正則基數κ滿足κ>N₀，且對任何λ<κ有2^λ<κ，κ就是一個強不可達基數。強不可達基數一定是弱不可達的。在廣義連續統假設成立時，每個弱不可達基數也是強不可達的。這時這兩個概念是相同的。在ZFC系統中不能證明不可達基數的存在性。稱這種基數為不可達的原因是它不可能從比它小的基數出發，使用通常的集合論運算得到。 ^[2] 

正則基數是一種特殊基數。如果α為極限序數，且cf(α)=α，則稱α為正則的。正則的基數稱為正則基數。不正則的無窮基數稱為奇異基數。由於正則的序數一定是基數，故人們對正則的序數、正則序數、正則的基數和正則基數這幾個概念不加區別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數，將N_α+1稱為正則序數。正則性是基數的重要概念之一，它由德國數學家豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1908年引入。關於正則基數的性質曾引申出許多重要的集合論命題，其中最重要的問題是：是否能在ZF系統中證明存在大於ω的正則基數?一方面，由選擇公理知，N₁，N₂，…，N_α+1都是大於ω的正則基數。另一方面，以色列集合論學家吉帖克(Gitik，M.)於1979年在假定存在某種大基數真類的情況下，證明了不存在大於ω的正則基數，也是和ZF系統相容的。

亦稱勢。公理集合論的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))之前，無窮只是一個很模糊的概念，人們無法區分兩個無窮集的大小。1873年，康托爾發現自然數集與實數集之間不存在一一對應的關係，由此意識到可以用一一對應作為度量無窮集合大小的尺度。他把集合的大小稱為集合的勢，記為x'，x為一集合。並且他定義，若集合A與集合B之間可建立一一對應關係，則稱A與B等勢，記為A≈B。然而康托爾對勢沒有作非常嚴格的定義，而將集合的勢定義為從集合中抽去元素特性及順序特性得出的一般概念.德國數學家、數理邏輯學家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)與英國數理邏輯學家羅素(Russell，B.A.W.)將集合的基數(勢)定義為在等勢關係下該集合所在的等價類.這一定義雖然比較嚴格，但這樣定義的基數不是ZF公理集合論中集合的基數.在ZF公理集合論中，按如下方法定義集合x的基數|x|： ^[3] 

1.若x是可良序化的，則定義|x|為最小的與x等勢的序數。

2.若不然，則定義|x|為與x等勢的真類中所有具有最小秩的元素的全體所組成的集合。

如果某個集合的基數是a，則如此定義的基數滿足|x|=|y|，當且僅當x≈y.定義1是由美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼(von Neumann，J.)於1928年引入的；定義2則是上述弗雷格與羅素思想的翻版。如果存在從集合x到y的單射，則定義|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，則|x|=|y|。這就是著名的康托爾-伯恩施坦定理。對於任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，當且僅當選擇公理成立。可良序化的集合的基數稱為良序基數。每一個良序基數都是序數。因此，若設定某一選擇公理，則每一個基數都是序數。對任意的序數α，存在大於α的最小良序基數，記為α。由此可見，所有的良序基數構成序數全域的一個無界的子類，即為真類。因此，可以定義一個從序數全域到所有無窮良序基數構成的真類上的保序映射，使得ᗄα<β((α)<(β))，式中讀做“阿列夫”。還常用_α代替(α)，表示第α個無窮良序基數，用ω_α表示N_α的序型，故N₀=ω₀=ω，N_α+1=ω_α+1=N_α。若α為極限序數，則N_α=ω_α=sup{ω_ρ|ρ∈α}。N_α是極限基數，當且僅當α是極限序數。