不可計算數

大家中學時就學過，

是一個無理數，它不能表示成兩個整數之比，是一個看上去毫無規律的無限不循環小數。早在古希臘時代，人們就發現了這種奇怪的數，這推翻了古希臘數學中的基本假設，直接導致了第一次數學危機。

事實上，

只是最普通的無理數。在無理數大家庭中，還有很多比

更詭異的數。

不可計算數即為不可以被計算出來的數。1975年，計算機學家格里高裏·蔡廷（Gregory Chaitin）做了一個有趣的實驗：選擇任意一種編程語言，隨意輸入一段代碼，該帶碼能夠成功運行並且能夠在有限時間內終止的概率即為蔡廷常數，這個數為一個經典的不可計算數。

圓周率的小數展開看上去似乎是完全隨機的，但畢竟是有辦法算出來的。 ^[1]  如果你想知道 π 的小數點後第一億位是多少，我總能在有限的時間裏算出答案來。

1975 年，計算機科學家格里高裏·蔡廷（Gregory Chaitin）研究了一個很有趣的問題：任意指定一種編程語言中，隨機輸入一段代碼，這段代碼能成功運行並且會在有限時間裏終止（不會無限運行下去）的概率是多大。他把這個概率值命名為了“蔡廷常數”（Chaitin's constant）。

這聽起來有點不可思議，但事實上確實如此——蔡廷常數是一個不可計算數（uncomputable number）。也就是説，雖然蔡廷常數是一個確定的數字，但現已在理論上證明了，你是永遠無法求出它來的。

儘管蔡廷常數算不出來，不過我們卻知道蔡廷常數是什麼。它有一個明確的定義。但是，並不是所有的數都能夠用有限的文字描述出來的。原因很簡單，因為長度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無窮多），而全體實數是不能枚舉的，因此總存在一些不可能用語言描述出來的數。這種數就叫做不可定義數（undefinable number）。

自然數也好，有理數也好，根號 2 也好，圓周率也好，蔡廷常數也好，它們都有明確的定義，都屬於可定義數的範疇。事實上，整個人類歷史上所有文獻提到過的所有實數都是可定義的，因為它們都已經被我們描述出來了。但是，由於可定義數與全體實數的數量根本不在一個級別上，不可定義的數遠遠多於可定義的數。

那麼，誰發現了第一個不可定義數呢？答案是，從沒有人發現過不可定義的數，以後也不會有人找到不可定義的數。因為不可定義數是無法用語言描述的，我們只能用非構造的方式證明不可定義數的存在性，但卻永遠沒法找出一個具體例子來。

好在，雖然有那麼多數是沒有辦法描述的，但數學家們也不會損失什麼。每一個值得研究的數一定都有着優雅漂亮的性質，這些性質就已經讓它成為了能夠被定義出來的數。