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三垂線定理的逆定理
鎖定
如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。
- 中文名
- 三垂線定理的逆定理
- 適用領域
- 數學幾何
- 應用學科
- 數學
- 證明方法數
- 三種
證明過程
證明
圖1 三垂線定理的逆定理
幾何證明
∵PA⊥α，a⊂α
∴PA⊥a
∵PO⊥a∴a⊥面OPA
∴a⊥OA
向量證明
設a的方向向量為a，取
，
，
∵PA⊥α，即
是α的法向量，且a⊂α
∴
⊥a，∴
·a=0
∵
⊥a，∴
·a=0
∴AO⊥a
三餘弦定理證明
在a上另取一點Q，由三餘弦定理得cos∠POQ=cos∠POA*cos∠AOQ
∵PO是斜線
∴cos∠POA≠0
∵PO⊥a
∴cos∠POQ=0
∴cos∠AOQ=0
∴AO⊥a
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