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一階微分形式不變性

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一階微分形式不變性是指：無論u，v是自變量還是中間變量，函數z=f(u,v)的全微分形式是一樣的。此性質的好處是：一方面是可以不用區分變量直接利用一元函數的微分性質計算；另一方面是不用區分變量是自變量、因變量還是中間變量，以及它們的結構問題就可以利用微分性質直接計算。
中文名
一階微分形式不變性
外文名
first order differential form invariance
學    科
數學
領域範圍
數學分析
屬    性
多元函數微分學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 在隱函數求導中的應用
  3. ▪ 隱函數存在定理1
  1. ▪ 隱函數存在定理2
  2. ▪ 隱函數存在定理3
  3. 3 在複合函數求偏導中的應用
  1. ▪ 複合函數的中間變量均為一元函數的情形
  2. ▪ 複合函數的中間變量均為多元函數的情形

一階微分形式不變性定義

若以
和
為自變量的函數
可微，則其全微分為
如果
，
作為中間變量又是自變量
的可微函數
由於複合函數
是可微的，其全微分為
由於
又是
的可微函數，因此同時有
將（3）式代入（1）式，得到與（2）式完全相同的結果。這就是關於多元函數的一階（全）微分形式不變性 [1]  。
　　這是一階全微分的一個非常重要的性質，有了這個“形式不變性”作保證，對於一個函數
就可以按照
是自變量去求它的微分
，而無需顧忌
究竟真的是自變量，還是一個隨自變量
變化的中間變量。
在微積分的教與學的過程中，利用這個性質求解較複雜的多元函數特別是複合函數，隱函數的偏導數，實用方便，簡單易行。

一階微分形式不變性在隱函數求導中的應用

隱函數存在定理是微積分中的難點，一般的教材介紹這一部分時，儘管對定理的證明不做要求，但是推導偏導數的過程複雜，公式繁多，導致許多學生在求隱函數的偏導數時，常會出錯，但若利用一階微分的形式不變性對方程兩邊同時求微分，則可減少此類錯誤。

一階微分形式不變性隱函數存在定理1

設函數
在點
的某一領域內具有連續的偏導數，且
，
。則方程
在點
的某一領域內恆能惟一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數
，它滿足條件
，並有 [2] 
證明 設函數
在點
的某一領域內具有連續的偏導數，且
，則函數可微。於是
。由於
連續，且
，由連續函數的保號性，存在
的某一領域，在該領域內，
。於是可得結論成立。

一階微分形式不變性隱函數存在定理2

設函數
在點
的某一領域內具有連續的偏導數，且
，
。則方程
在點
的某一領域內恆能惟一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數
，它滿足條件
，並有 [2] 
證明 設函數
在點
的某一領域內具有連續的偏導數，且
，則函數可微。於是
。由於
連續，且
，由連續函數的保號性，存在
的某一領域，在該領域內，
。於是得
，由一階全微分形式不變性，可知結論成立。

一階微分形式不變性隱函數存在定理3

設函數
在點
的某一領域內有對各個變量的連續偏導數，且
，
，且偏導數所組成的函數行列式（或雅克比行列式）
在點
不等於零，則方程組
，
在點
的某一領域內能惟一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數
，它們滿足條件
，並有 [2] 
證明 設函數
在點
的某一領域內具有連續的偏導數，則函數可微。於是
當偏導數所組成的函數行列式（或雅克比行列式）
在點
不等於零時，由連續函數的保號性，存在
的某一領域內
，於是由Gramer法則得
由一階全微分形式不變性可得結論成立。

一階微分形式不變性在複合函數求偏導中的應用

一階微分形式不變性複合函數的中間變量均為一元函數的情形

設函數
及
都在點
可導，函數
在對應點
具有連續偏導數，則複合函數
在對應點
可導，且其導數可用下列公式計算 [2]  ：
證明
都可微，因此，由一階微分形式不變性可得
從而
所以上述結論成立。

一階微分形式不變性複合函數的中間變量均為多元函數的情形

設函數
及
都在點
可導，函數
在對應點
具有連續偏導數，則複合函數
在對應點
可導，且其導數可用下列公式計算 [2]  ：
證明
都可微，因此，由一階微分形式不變性可得
從而
所以上述結論成立。
參考資料