一般空間微分幾何學

在19世紀中期，已經出現了黎曼幾何。它是以定義空間兩個鄰點間的距離平方的二次微分形式為基礎而建立起來的。20世紀以來，因受到廣義相對論的影響，黎曼幾何發展很快，從此產生了以更一般的曲線長度積分為基礎的芬斯勒空間，以超曲面的面積積分為基礎的嘉當空間,以二階微分方程組為基礎的道路空間和K展空間等等，而這些通稱一般空間。

一般空間微分幾何學是在黎曼幾何的研究取得巨大成功的基礎上，由美國著名數學家道格拉斯在20世紀40年代中葉提出來的。由於黎曼幾何在相對論中的重要應用，一般空間微分幾何學作為黎曼幾何學的擴充，一提出來就引起了人們的重視。

設M是參考於一系座標xi(i=1,2,…,n)的n維集合，並且它的曲線xi=xi(t)的“弧長”是按照積分 定義起來的（其中，ρ＞0）。這時，稱M為芬斯勒空間。特別是，當 時，得到黎曼空間。P.芬斯勒(1918)在其學位論文中曾經把黎曼空間的一些結果拓廣到這個空間來，但是它的微分幾何到É.嘉當(1934)才逐漸趨於完整。例如，這個空間仿射聯絡的確定，曲率論的建立等研究，都是以後才發展起來的。僅僅要指出，芬斯勒空間的測地線（即上列積分的極值曲線）的微分方程具有如下的形式： 式中是由F(x,凧)確定的某種函數組。 　近年來，無限維的芬斯勒流形在非線性分析中有重要作用。

在n維空間裏，以(n-1)維超曲面領域的表面積概念為基礎而構成的幾何，稱n維嘉當空間幾何。設(x)=( x1,x2,…，xn)表示空間一點的座標,(u)=(u1,u2,…，un)表示該點切空間的(n-1)維子空間的齊次座標，(x，u)稱為點(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一個區域，採用一個在B是正則的而且取正值的函數L（x,u），這裏L關於ui是正齊一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ＞0)，並約定,在超平面素(x,u)的(n-1)維表面積元素為 　為了改寫dO,設是光滑超曲面F的正則參數表示。從(n-1)×n矩陣刪去第k行,而且用(-1)k+1pk表示這樣得出的(n-1)階行列式。那麼,從上列的約定便導出一個在有向超曲面F的區域上的(n-1)重積分 它表示了這個區域的“(n-1)維表面積”。 　從基本函數 L（x，u）作 且令α=det|αik|，嘉當的測度張量可表成 這樣，這種空間微分幾何便有了發展的基礎，特別重要的是研究面積積分的第一和第二變分，以及極值離差理論，即能保持極值超曲面的無窮小變形的方程。

設在N 維空間SN裏給定了一組K 維流形，使得組中有一個且僅有一個流形通過一般位置下的任何K+1個鄰近點，或者和任何一個已知的K維元素（按照一點和其銜接的K維平坦流形組成的元素）相切。這些K維流形簡稱K展,具有這種結構的N維空間SN稱K展空間。特別是，當K=1時，SN就是道路空間。 　設(xi;i=1,2,…,N)是SN的一點的座標,那麼每個K展可表成或簡寫為,式中各函數是變數u和參數α的解析函數（或充分光滑的函數）。從定義易知 如果由K展的表達式消去參數α,便獲得仿射K展空間的偏微分方程組 式中函數是p的齊二次函數。 　根據J.道格拉斯導進一個仿射聯絡到仿射 K展空間SN： 　從而把上列偏微分方程組改寫成 。從這個仿射聯絡不但可以導出仿射曲率張量,還可作出射影聯絡以及有關的偏微分方程組的可積分條件，還可證明；嘉當的“平面公理”的成立與空間為射影平坦是等價的。

參考書目：步青著：《一般空間的微分幾何學》，科學出版社，北京，1958。

谷超豪，浙江温州人，1948年畢業於浙江大學，1959年獲蘇聯莫斯科大學物理數學科學博士學位，復旦大學教授、數學研究所所長。曾任中國科學技術大學校長。在微分幾何、偏微分方程和數學物理等方面的研究成果突出，獲第二屆華羅庚數學獎。主要從事偏微分方程、微分幾何、數學物理等方面的研究和教學工作，又致力於大學的行政領導工作，均取得重要成就。在一般空間微分幾何學、齊性黎曼空間、無限維變換擬羣、雙曲型和混合型偏微分方程、規範場 理論、調和映照和孤立子理論等方面取得了系統、重要的研究成果。創建了高維、高階混合型方程的系統理論。在規範場的數學結構、高維時空的孤立子理論研究方面取得重要進展。1980年當選為中國科學院院士 (學部委員)。