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一次不定方程
鎖定
一次不定方程(linear indeterminate equation)亦稱線性不定方程，是一類重要的不定方程，指未知數多於一個的一次方程。設a₁, a₂,...,an是非零整數，b是整數，稱關於未知數x₁, x₂,...,xn(n≥2)的方程a₁x₁+a₂x₂+...+anxn= b是n元一次不定方程。方程a₁x₁+a₂x₂+...+anxn= b有整數解的充要條件是(a₁, a₂,...,an)|b。
- 中文名
- 一次不定方程
- 外文名
- linear indeterminate equation
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 線性不定方程
- 所屬問題
- 初等數論(不定方程)
目錄
一次不定方程一次不定方程簡介
設a₁, a₂,...,an是非零整數，b是整數，稱關於未知數x₁, x₂,...,xn(n≥2)的方程
若存在整數
滿足方程，則稱
是方程的解，或説
是方程的解。
設ai>0(i=1，2，…，s)，(a1，a2，…，as)=1，考慮方程(1')的非負整數解xi≥0(i=1，2，…，s)，存在僅與a1，a2，…，as有關的數Fa1，…，as，當n>Fa1，…，as時，方程(1')有非負整數解。令A(n)為其解數，則
一次不定方程二元一次不定方程及其求解
設a,b,c是整數，形如ax+by=c的方程是二元一次不定方程。
定理2 設a,b,c是整數，方程ax+by=c若有解(x0,y0)，則它的一切解具有
的形式，其中
。
定理1和定理2説明了解二元一次不定方程的歩驟：
(1)判斷方程是否有解，即(a，b)|c是否成立；
(2)利用輾轉相除法求出x0,y0，使得ax0+by0=(a,b)；
(3)寫出方程ax+by=c的解
，其中
。
一次不定方程多元一次不定方程及其求解
定理3 設a₁, a₂,...,an,b是整數，再設(a₁, a₂,...,an-1) = dn-1，(a₁, a₂,...,an)=dn，則
是方程(1)的解的充分必要條件是存在整數t,使得
是方程組
定理3説明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程組中的第二個方程，再解方程組中的第一個方程，於是，解n元一次不定方程就化為解n-1元一次不定方程，重複這個過)程，最終歸結為求解二元一次不定方程。
記(a₁, a₂) = d2，(d2,a3) = d3,...,(dn-2,an-1) =dn-1，(dn-1,an) = dn。
逐個地解方程
