Г函數

含參變量α(α>0)的反常積分：

Φ（s）的收斂性：當s≧1時是正常積分，所以其收斂；當0〈s〈1時，由柯西判別法可推得其是收斂的。

Ψ（s）的收斂性：當s〉0時，由柯西判別法推得其是收斂的。

故含參量積分Γ（x）在s〉0時收斂，其定義域為s〉0。 ^[1] 

在任何閉區間[a,b]（a>0）上，對於函數Φ（s），當0〈x≦1時有 ≦ ，由於

收斂，從而Φ（s）在[a,b]上收斂；對於Ψ（s），當1≦x〈+∞時，有

≦

，由於

收斂，從而Ψ（s）在[a,b]上也一致收斂。於是Γ（s）在s〉0上連續。

考察積分

=

。它在任何區間[a,b](a〉0)上一致收斂。於是由含參量反常積分的可微性得出Γ（s）在[a,b]上可導，由a，b的任意性，Γ（s）在s〉0上可導。 ^[2] 

證明：

對下述積分應用分部積分法，有

令

就得到Γ函數的遞推公式：

推論：

當s趨於0時， Γ（s）趨於+∞

對於一切

，

和

恆大於0，因此

的圖像位於s軸的上方，且是向下凸的。因為

，所以

在

上僅存在的極小值點

且

。又

在

內嚴格增，在

內嚴格減。

由於

所以

由

和

在

上嚴格增可得：

綜上所述，

函數的圖像如圖1中s>0部分所示

。 ^[1] 

對於任意的實數p，q： ^[1] 

已知

，試證

。 ^[2] 

證明：