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ζ函數
鎖定
ζ 函數(ζ-function)是用來刻畫系統週期點性態的函數,是動力微分系統的重要研究對象。
- 中文名
- ζ函數
- 外文名
- ζ-function
- 定 義
- 刻畫系統週期點性態的函數
- 學 科
- 數學
- 領 域
- 微分動力系統
ζ函數定義
ζ 函數
[3]
(ζ-function)是用來刻畫系統週期點性態的函數。設M是微分流形,f:M→M是可微映射,對m=1,2,...,記Nm=Nm(f)為fm的不動點數目。假設Nm<+∞,m=1,2, ...,如下形式的冪級數:
這裏Γ是φ的除奇點外的週期軌道的集合,ζ(γ)是週期軌道的週期。
ζ函數記號定義
ζ函數定義1
設X是拓撲空間,f:X→X是連續映射,fn的不動點數Nn(f)<+∞,任意n∈N,則稱
為f的ζ函數。
ζ函數定義2
以
表示形狀如
的序列的集合,這裏ai取值於{1,2,…,h}。
中的距離定義為
。
這裏
,
,
又以σ表示轉移映射:
設A=(A(j,k))是h*h方陣,其中各A(j,k)是0或1。我們把
(或
)稱為是A允許序列,如果
所有形狀如
的A允許序列組成的
的子集記為
,
稱為有限型子轉移。
ζ函數定義3
設M是微分流形,U
M是具有緊緻閉包的開集,A
U是緊緻集,f∈C1(U,M),f(
)
。f稱為是在
上擴張的,如果存在M的Riemann度量<·,·>和實數r>1使得
這裏|·|表示由<·,·>引出的範數。特別地,如果M是緊緻的,f∈C1(M,M)在M上擴張,則稱f是擴張映射。
ζ函數定義4
f∈C0(U,M)稱為在
中正向可擴,如果
,並且存在(被稱為可擴常數的)e>0使得對任意x,y∈
,x≠v,存在非負整數k滿足d(fk(x),fk(y))>e。
如果f∈C1(U,M)在緊緻不變集
U上擴張,則存在
的緊鄰域V
U使得f在V中是正向可擴的。
ζ函數定理及引理
ζ函數定理1
緊緻光滑流形M上的擴張自映射f具有有理的ζ函數。
ζ函數定理2
設M是光滑流形,f∈C1(M,M),
是緊緻集,f在
上是擴張的,則ζf(t)是有理函數。
ζ函數引理1
設f∈C1(M,M)在緊緻集
=
上是擴張的,<·,·>和r如定義3所述。則存在緊鄰域V和實數1<r'<r,ρ>0,使得:對任意x∈V映射f|B(x,ρ)是到象集的微分同胚,對任意p,q∈B(x,ρ),f(p),f(q)∈B(f(x),r’ρ)有d(f(p),f(q))≥r’d(p,q)。
並且對任意x∈V,0<ρ'<ρ有f(B(x,p'))
B(f(x),r'ρ')。
ζ函數引理2
設W∈int V是
=
的緊鄰域,則對任意β>0,存在0<α<β,使得W中的任意α偽軌有V中的軌道β追蹤它。
設e是f在V中的可擴常數。選取β滿足
,選取α滿足0<α<β min{r-1,1},再選取δ,0<δ<α/2,使得對於任意x,y∈V,d(x,y)<δ,有d(f(x),f(y))<α/2。記
選取p1,...,ps∈W使得
ζ函數引理3
ζ函數公理A
公理A是在微分動力系統結構穩定性和Ω穩定性的研究中,由斯梅爾提出的一個基本條件。滿足公理A條件要求的系統被稱為公理A系統。設M是緊緻微分流形,f:M→M是微分同胚。涉及f的以下條件稱為公理A系統:
1.非遊蕩集Ω(f)具有雙曲結構;
2.週期點在非遊蕩集中稠密;
對M上的C向量場X來説,設φ是X導出的流,若Ω(φ)=F∪
,同時滿足:
1.F是φ的有限個雙曲奇點的集合;
3.F∩
=φ;
則稱φ為公理A流。
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