δ-函數

物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分佈的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分佈於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那麼它們的密度應該如何表示呢？

為了在數學上理想地表示出這種密度分佈，引入了δ函數的概念。用數學表示為：

上述表達式不規定δ函數在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函數取值的“大小”是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可。如果函數不在0點取非零值，而在其他地方，可定義：

在多維空間中的δ函數定義如下：

例如在三維空間中，三維δ函數可表示為三個一維δ函數乘積表示，在直角座標系中，

在極座標系中，

在球座標系中，

多維的δ函數主要性質：

δ函數可以表示如下：

點電荷等抽象模型的密度分佈可以表示為：

一組點電荷的電荷密度可以表示為：

不僅可以用δ函數表示點電荷的密度分佈，還可以表示圓柱、球殼上的電荷密度。例如，在電荷q均勻分佈在半徑為a的球上，在球座標系中其電荷密度為：

在半徑為b的圓柱上均勻分佈的電荷單位長度的電荷為

，在柱座標系中其電荷密度為：

電學的高斯定理微分形式為：

電場強度為：

因此位矢的微分可以表示成：

也可代入電荷密度的表達式直接得到。 ^[1]