譜序列

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調羣與其正像的上同調羣。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地説，對合成函子取導出函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導出範疇在理論層面提供了較簡煉的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。 ^[1] 

譜序列為微分雙分次模的序列(E^r,d^r)_r≥1，並對任何r滿足E^r+1=H(E^r,d^r)。 ^[5] 

以下固定一個阿貝爾範疇，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數

及下述資料：

對所有整數

，有範疇中的一個對象

。

自同態

，滿足

，稱為邊界映射或微分。

從

到

的同構。

通常省去

與

的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈復形，它帶有一個微分

。取

，並令

，於是必有

；這個新鏈復形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有

。綜之，我們得到一個鏈復形範疇上的譜序列：

由於只有

時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作

，此時的微分映射次數與

有關：對於上同調譜序列，

的次數是

。對於同調譜序列，通常將各項寫成

，微分映射

的次數是

。

譜序列之間的態射

定義為一族態射

，使之與同構

交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。 ^[2] 

交換代數中大部分的譜序列來自鏈復形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）

，一個正合偶是：

一對對象

三個態射：

使之滿足下述正合條件：

將這組資料簡記為

。正合偶通常以三角形表示。

對應到譜序列的

項，而

是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

由

導出。

定義如下：若

為某個環上的模範疇，對任一

，存在

使得

，定義

為

在

中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射

。

可以驗證

構成正合偶。

對應到譜序列的

項。續行此法，可以得到一族正合偶

。相應的譜序列定義為

，

。 ^[3] 

在第一個簡單的例子中，譜序列在

後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為

。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可説是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列

對每個

都存在

，使得當

時，

及

皆為零，則稱

之極限項為

（取充分大的

）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標

指涉過濾結構。

若存在對象

、過濾結構

，及一族同構

，滿足

（這種過濾稱為“正則過濾”），則稱

收斂到

，通常表為下述符號：

習慣上，人們也常將上式寫成

，因為譜序列中最重要的頁往往是

。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定

，若對每個

，微分映射

都是零，則稱該譜序列在第

頁退化。

退化性保證了

，此時

即其極限。如果一個雙分次譜序列

的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在

時退化。 ^[4]