層

給定預層F，若有正合列

，即p₀為單態射，且為p₁與p₂的等化子，則稱F是層。 ^[3] 

記拓撲空間X中任意開集U的開覆蓋記為{V_i}。

層是X上的預層，且滿足以下條件：

1.若U上瓣s在開覆蓋中任意V_i上的限制均為s|_Vi=0，則s=0；

2.若開覆蓋上瓣{s_Vi}與V_i選取無關，則存在唯一U上瓣s，使得s|_Vi=s_i。 ^[1] 

設X為拓撲空間，Open(X)為X所有開子集U構成的集，包含定義的排序為偏序，故構成範疇。設𝕮(U)為由所有連續實值函數h:U→ℝ構成的集，V∈Ob(Open(X)），且V⊆U，h↦h|V將h限制在子集V上，相當於函數𝕮(U)→𝕮(V)。這使得𝕮為從Open(X)到Set的反變函子，稱為X上連續函數芽的層。 ^[4] 

設X是域k上的簇。對X的每個開集U，𝓞(U)表示U到k的正則函數環，對每個V⊆U，ρ_UV:𝓞(U)→𝓞(V)是限制映射，則𝓞是X的環層，稱為X的正則函數層。用同樣的方法可以定義拓撲空間上的連續實值函數層，或者微分流形上的可微函數層，或者複流形上的全純函數層。

設X為拓撲空間，A是阿貝爾羣。賦予A離散拓撲，並對於X中所有開集U，令

是U到A的所有連續映射的羣。用通常的限制映射，即得到層

，稱為常值層。

設素譜Spec A為環A的所有素理想的集合，對Spec A中開集U，定義𝓞(U)為s:

的集合，其中對每個𝔭，滿足

，且s局部地是A中元的商。確切地説，需要在U中存在𝔭的鄰域V和A的元a,f，使得對每個

而

。 ^[1] 

作為一個典型的例子，考慮拓撲空間X,對於每個X中的開集U，令F(U)為所有連續函數U→R的集合。如果V是U的開子集，則U上的函數可以限制到V上，而我們得倒映射F(U) →F(V)。"粘合"描述了下列過程:假設U_i是給定的開集其併為U，對於每個i我們給定一個元素f_i∈F(U_i)，一個連續函數f_i:U_i→R。如果這些函數在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個連續函數f:U→R，它和所有給定的函數fi一致。所有集合F(U)的類和限制映射F(U) →F(V)成為一個X上的集合的層。進一步的，每個F(U)是一個交換環，而限制映射是環同態，這使F成為X上的環的層。

作為很相似的例子，考慮一個微分流形X，對於X的每個開集U，令F(U)為所有可微函數U→R的集合。這裏同樣的有粘合，並且我們得倒X上的環的層。另一個X上的層是，對於X的每個開集U給定所有定義在U上的可微向量場的向量空間。限制和粘合向量場和函數上的操作一樣，然後我們得倒流形X上的向量空間的層。 ^[1] 

層一般不是豪斯多夫空間。 ^[2] 

拓撲空間X上的一個層(或譯束、捆)F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U)。這個結構F(U)和把開集限制到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層和一個層相似，但它可能不可以粘起來。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質，就像應用在函數上的層。 ^[1] 

層用於拓撲，代數幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨着每個開集變化的代數數據，就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴於所選開集的)的對象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函數，流形，等等。 ^[1]