聯絡

設ξ=π:E→M為向量叢。則ξ上的聯絡𝓗為E的切叢的全空間TE的一個分佈，即對E中任意點u，有𝓗_u為T_uE的子空間，稱為水平子空間，使得 ^[1] 

(1)對任意u∈E，π_*u:𝓗_u→T_π(u)M為同構；

(2)l_a*𝓗_u=𝓗_au，其中l_a(u)=au為左乘a∈ℝ。

令π:P→M為主叢，其結構羣為李羣G，G的李代數為𝖌。主叢P的一個聯絡是一個分佈𝓗={p→𝓗_p}，滿足 ^[1] 

(1)TP=kerπ_*⊕𝓗。即決定了一個分解X=X^v+X^h∈kerπ_*⊕𝓗，X∈TP；

(2)R_g*𝓗=𝓗∘R_g，g∈G。

令P上聯絡為𝓗，設ω∈𝖌⨂T*P為P的一個𝖌值微分1形式，稱ω為P的𝓗的聯絡形式為，若滿足如下性質：

ω(u)=(l_b*e)^-1u^v，u∈T_bP，b∈P，

其中u^v為切向量u的垂直分量，l_b:G→P定義為l_b(g)=bg。

設η:P×𝖌→P為平凡叢，ω∈A₁(P,η)。

聯絡𝓗的聯絡形式ω滿足

(1)ω|_𝓗=0，l_u*∘ω|_kerπ*=1_kerπ*；

(2)R_g*ω=Ad_g-1∘ω，g∈G。

反之，若ω為P的𝖌值1形式，滿足ω|_𝓗=0與(2)，則kerω為P→M的聯絡。 ^[1] 

若{U_i}為M的一個開覆蓋，σ_i為U_i上的截面。則P的一個局部聯絡形式為U_i的一個李代數值微分1形式𝓐_i∈𝖌⨂Ω¹(U_i)，定義為 ^[5] 

𝓐_i=σ_i*ω

設M為實流形，ξ=π:E→M為復向量叢，

為在E上取值的第i微分形式層。向量叢E上的聯絡為複線性層同態

，且對任何M上的局部函數f與E上的截面s，滿足萊布尼茨公式

。 ^[4] 

聯絡為底空間為M的向量叢之間的一個態射

，滿足

，且

為雙線性映射。 ^[3] 

每個向量叢都兼容聯絡。

設

為ξ的垂直叢的總空間，

為

在TE的法叢。

若𝓗為連通流形上的叢的聯絡，則𝓗為平凡當且僅當和樂羣平凡。 ^[1] 

E上光滑曲線

稱為水平曲線，若對每個t，其切矢均屬於點

的水平子空間。 ^[2]