層同態

設X是一個拓撲空間，

表示X之所有開集之族，設

和

是X上的兩個層，今對每個

有一個羣同態

而且羣同態族

對

且

有下面的交換圖成立：

這樣的

就稱之為層

到層

內的層同態 ^[2]  。

我們一般用

表示。

設

和

是拓撲空間X上兩個層，今有層同態：

和層同態

而且有

和

，則稱

是層

到

上的層同構。也説

與

是同構的。

設

和

分別是拓撲空間X上的兩個層的相伴空間，

是一個連續映照，且適合

(1)

是保莖(preserves stalks)的，’即對

，則

，對所有的

都成立。

(2)

限制在莖上是羣同態，即

這樣的

稱為層相伴空間

到層相伴空間

內的同態。

如果

和

之假定同上，

和

是兩個層相伴空間之間的同態，且有

，則稱

是一個層相伴空間的同構，也説

和

是同構的 ^[2]  。

定理1

是拓撲空間X上的層，它與它的相伴空間的截影層

是同構的。

定理2設

和

是拓撲空間X上的兩個層，

和

分別是它們的相伴空間，如果

和

是層同構的，則相伴空間

和

是同構的。

定理3設

和

分別是拓撲空間X上的兩個層所對應的相伴空間，如果

和

是相伴空間同構，則它們對應的截影層

和

是層同構的。

定理1、定理2和定理3説明了一個事實：即對—個拓撲空間X，它上面二個同構的層的相伴空間是同構的(定理2)，反之，如果拓撲空間X上的二個層的相伴空間是同構的，則這二個層亦是同構的(因為由定理3知這二個相伴空間的截影層是同構的，而由定理1知每個截影層都同構於原來決定相伴空間的層，無疑層同構是一個等價關係，所以這二個層亦同構)．因此我們可以將層和相伴空間看作是一樣的，由我們所討論的問題不同而作不同的選取 ^[2]  。