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相交數
鎖定
映射度亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。
設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。
相交數是重要的同倫不變量。映射度在更一般情形的推廣。
[1]
- 中文名
- 相交數
- 外文名
- intersection number
- 領 域
- 數學
- 來 源
- 拓撲
- 實 質
- 重要的同倫不變量
- 對 象
- 微分流形
相交數概念
相交數是重要的同倫不變量。映射度在更一般情形的推廣。設M與N分別是m維與n維的緊緻有向(無邊)微分流形,n>m,A是N的(n-m)維閉有向子流形,f:M→N是C映射,f
A,對於p∈f(A),當線性同構:
[2]
TpMTf(p)N→Tf(p)N/Tf(p)A
保持定向時,記為#p(f,A)=1;否則記為#p(f,A)=-1,則#(f,A)=∑p∈f(A)#p(f,A)∈Z(因為f(A)在M中餘維為m),稱為映射f對於子流形A的相交數。類似於映射度情形,得到:若f,g:M→N是光滑同倫映射,f
A,g
A,則:
#(f,A)=#(g,A)
由此可將相交數定義推廣到一般連續映射的情形。相交數有直觀的幾何背景,設M1,M2N都是N的有向(無邊)緊緻子流形,
dim N=dim M1+dim M2,
M1
M2(即處於一般位置),i:M1→N為包含映射,則#(i,M2)實際上是M1∩M2中點的“代數”個數(按定向,每一點賦予適當的符號),稱為(M1,M2)的相交數,記為#(M1,M2)或#(M1,M2;N)。從而:
#(M1,M2)=(-1)dimM1·dimM1#(M2,M1)
注意,當M,N或A不是可定向流形時,可類似於模2映射度而定義模2相交數#2(f,A)。
相交數映射
亦稱函數。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係,G的定義域D(G)為X,且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x,y),則稱G為從X到Y的映射.即關係G為映射時,應滿足下列兩個條件:
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y,通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足:
1) f(x)∈Y.
2) G(x,f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y,G(x,z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號:f:X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X),當且僅當G(x,y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變量。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變量。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域,記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域,記為R(f)或ran(f).當y=f(x)時,y稱為x的象,而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.對於AX,所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A)。對於BY,所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然:f(A)=f(x),f(B)=f(y)。
相交數映射度
亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。設f:S→S(n≥1)是連續映射,(K,φ)是S的一個剖分,同調羣Hn(S)Z,這裏Z表示整數加羣,以[z]記同調羣Hn(K)的生成元,若:
f~=φ°f°φ: |K|→|K|,
則有整數m使得f~的誘導同態f~n*([z])=m[z],這個m稱為f的布勞威爾度,記為deg f.映射度deg f與S的剖分(K,φ)和Hn(K)的生成元的選取無關.根據誘導同態的性質,可得到下述結論:若f,g:S→S都是連續映射,則:
1.若fg,則deg f=deg g.
2.deg(f°g)=deg f°deg g.
3.對於S上的恆同映射1s,有deg 1s=1,對於常值映射c:S→S,有deg c=0.
根據以上性質,可以定義對應
deg#: [S,S]→Z,
使得對於f所屬同倫類[f]規定
deg#([f])=deg f.
根據霍普夫(Hopf,H.)的度數定理,deg#是一一對應。它表明S到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定.映射度理論應用廣泛,如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關於映射度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。討論n維球面S到自身連續映射的同倫類構成的集合[S,S],是映射的同倫分類問題中最基本的內容,並且很多幾何問題的解決都有賴於對這個集合性質的瞭解。研究這個集合結構的一種方法,就是對每個連續映射f:S→S聯繫一個整數,即所謂映射度,它是由布勞威爾(Brouwer,L.E.J.)首先提出的。
[3]
相交數同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射,若存在連續映射H:X×I→Y使得:
H(x,0)=f(x)
H(x,1)=gx∈X
則稱f與g同倫,記為f≃g:X→Y或f≃g,映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I,ht連續地依賴於t且h0=f,h1=g,即當參數t從0變到1時,映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X,Y]表示X到Y的一切連續映射之集,則同倫關係≃是C[X,Y]上等價關係,每個等價類稱為一個同倫類,同倫類的全體所成集記為[X,Y]。設Y是R的子空間,f,g:X→Y是連續映射,若對每個x∈X,點f(x)與g(x)可由Y中線段連結,則f≃g:X→Y,若Y是R中凸集,任何映射f:X→Y都零倫,即[X,Y]僅含一個元素。設X,Y與Z均為拓撲空間,若f≃f:X→Y,g≃g: Y→Z,則gf≃gf: X→Z。
設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的,或者存在x0∈X,使得常值映射C:X→X。x1→x0與映射idx同倫,空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條:(1)idx≃0,即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y,映射f:X→Y,有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g:Z→X,g≃0。
設A是空間X的子空間,i:A→X表包含映射,若存在連續映射r:X→A,使得r|A=idA(或r·i=idA),則r稱為X到A的保核收縮,A稱為X的收縮核。若有保核收縮r:X→A滿足i·ridx:X→X,則H稱為X到A的形變收縮,A稱為X的形變收縮核,若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x,t)=x,則H稱為X到A的一個強形變收縮,A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮,且若A是X的形變收縮核,則內射i:A→X是同倫等價。
[4]
- 參考資料
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- 1. 舒豔,沈灝. 單純三元系的相交數問題[J]. 上海交通大學學報,2006,(09):1622-1625+1629. [2017-10-01].
- 2. 李燕楠,羅銀燕,馮琪. 關於一類RBIBD相交數問題的研究[J]. 佛山科學技術學院學報(自然科學版),2015,33(03):30-32. [2017-10-01]. DOI:10.13797/j.cnki.jfosu.1008-0171.2015.0053
- 3. 朱豔. 代數曲線相交數的射影不變性[J]. 菏澤學院學報,2011,33(02):22-24. [2017-10-01]. DOI:10.16393/j.cnki.37-1436/z.2011.02.006
- 4. 劉振. 小階數可分解Mendelsohn三元系的相交數[J]. 上海交通大學學報,2003,(02):293-297. [2017-10-01].
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