形變收縮核

形變收縮核(deformation retract)是一類特殊的收縮核。設X為拓撲空間，A

X，若存在收縮映射r：X→A和包含映射i：A→X使得：

則稱A為X的形變收縮核，倫移H稱為X到A的形變收縮。設A為X的形變收縮核，H：X×I→X是形變收縮，若對於x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則稱A為X的強形變收縮核。直觀地説，A是X的形變收縮核是指X可以連續形變成A，當形變過程中A的點都不變動時，A就是X的強形變收縮核。 ^[1] 

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。 ^[2] 

收縮核是具有特殊性質的子空間。設X為拓撲空間，A是X的子空間，若存在連續映射r：X→A使得當x∈A時，r(x)=x，即r|A=1_A(1_A為A上恆同映射)，則稱A為X的收縮核，稱r為收縮映射或保核收縮。實際上，收縮映射r是A上恆同映射1_A在X上的擴張。若A是它的在X中的某個鄰域U的收縮核，則稱A為X的鄰域收縮核。

核

位勢論的基本概念。在位勢論中，所謂核，常指一般位勢的核(參見“一般位勢”)。這時若K(x，y)≥0恆成立，則稱K為正核；令K′(x，y)=K(y，x)(K′稱為K的轉置核)，若K′=K，則稱K為對稱核； 當Ω為阿貝爾羣且有K(x，y)=K(x-y)時，則稱K為平移不變核；若對於任意有緊支集的μ，有：

則稱K為正定核。此外，還有各種廣義形式的核，如測度核、廣義函數核等。

現代分析數學領域的一個分支，主要研究各種形式的位勢(函數)和與其密切關聯的調和函數、上(下、超、次)調和函數族的各種性質及其應用。經典位勢論的主要研究工具是微積分，並與微分方程、複變函數論緊密關聯；現代位勢論以拓撲、泛函分析與測度論、廣義函數等為主要工具，與分析數學領域的諸多分支相互滲透並和隨機過程建立了深刻的內在聯繫。位勢論起源於物理學的萬有引力學説和靜電學，遠在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場是一個函數(稱為牛頓位勢)的梯度。在三維歐氏空間，一個單位質點ε_y的引力場在點x(x≠y)的牛頓位勢等於把一個單位質點從無窮遠移到點x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一個質量分佈μ的引力場在x的牛頓位勢是：

1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)證明了，在不分佈質量的地方，位勢滿足拉普拉斯方程。這樣，物理問題便化為求解偏微分方程的數學問題。

從18世紀到19世紀末，位勢論的研究限於n維歐氏空間上的牛頓位勢(n≥3)和對數位勢(n=2)，即所謂經典位勢論.其中心問題之一是古典狄利克雷問題的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形給出瞭解的積分公式; 1828年，格林(Green，G.)對邊界充分光滑的有界區域，從物理直觀出發並藉助於格林函數給出瞭解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)採用變分法解決了平衡問題並得出狄氏問題的新解法。這兩個問題與掃除問題相關聯，此後一直被稱為位勢論三大基本問題。855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所謂狄利克雷原理給出瞭解。此外，還有龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)的掃除法，施瓦茲(Schwarz，H.A.)的交錯法等。但是，由於缺乏足夠的數學工具，這些解法是不嚴密的，需要附加條件。另外，在這一時期的主要成果還有：1839年，埃恩蘇(Earnshaw，E.)證明狄氏解的極值原理；1850年，黎曼把位勢論與函數論作統一處理，揭示了格林函數和位勢同保形映射之間的密切聯繫；1886年，哈納克(Harnack，C.G.A.)建立哈納克不等式及哈納克收斂原理.此外，關於諾伊曼問題及多重調和函數的研究也有不少成果。這樣，直到19世紀末，位勢論的三個基本原理，即極小值原理、收斂性質及狄利克雷問題的可解性已基本建立，它為現代位勢論的發展作了很好的準備。 ^[3] 

20世紀以來，由於深入應用現代函數論、測度和積分的理論、泛函分析、一般拓撲學、抽象代數、現代概率論的思想和方法，位勢論得到蓬勃發展，開闢了新的研究方向，創造了新的方法，成為分析數學領域中比較徹底完成了現代化變革的一個分支，也影響了其他數學分支的發展。