畢達哥拉斯

公元前580年，畢達哥拉斯出生在米利都附近的薩摩斯島（今希臘東部的小島）——愛奧尼亞羣島的主要島嶼城市之一，此時羣島正處於極盛時期，在經濟、文化等各方面都遠遠領先於希臘本土的各個城邦。

畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敍利亞學者那裏學習，在這裏他接觸了東方的宗教和文化。以後他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。

公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了數學家、天文學家泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，併成為了他們的學生。在此之前，他已經在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裏學習了詩歌和音樂。

公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭髮從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪説。畢達哥拉斯被迫於公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，並在提爾一神廟中靜修。

抵達埃及後，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話、歷史和宗教，並宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。

畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，開始講學並開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。

公元前520年左右，為了擺脱當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅託內。在那裏他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術合一的團體。

他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他後來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。

畢達哥拉斯在意大利南部的希臘屬地克勞東成立了一個秘密結社，這個社團裏有男有女，地位一律平等，一切財產都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的淨化”。

他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規範和戒律，並且宣誓永不泄露學派的秘密和學説。他們相信依靠數學可使靈魂昇華，通過數學能窺探神的思想，萬物都包含數，甚至萬物都是數，數是變化多端的世界背後的真相。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區別。

學派的成員有着共同的哲學信仰和政治理想，他們吃着簡單的食物，進行着嚴格的訓練。學派的教義鼓勵人們自制、節慾、純潔、服從。他們開始在大希臘（今意大利南部一帶）贏得了很高的聲譽，產生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。後來他們受到民主運動的衝擊，社團在克羅託內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔蘭託），並於公元前500年去世，享年80歲。

許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭託，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。

傳説他是一個非常優秀的教師，他認為每一個人都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那麼就給他三塊銀幣。這個人看在錢的份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這學生對幾何產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回了。

畢達哥拉斯在數是萬物本原的數學哲學思想指導下，潛心究數學，給數賦予了很多特殊的含義，畢達哥拉斯認為六面體中包含有地球的奧秘，四稜錐中藴藏有火的含義，十二面體中囊括有宇宙的神秘。還把數分為聰明的、愚蠢的、知足的、不知足的，並且給出了平均數、親和數和完全數的概念。 ^[2] 

同時，畢達哥拉斯還把自然數劃分為奇數、偶數、三角數和五角數等幾種不同類型的數。畢達哥拉斯認為，這些不同的抽象的數便是宇宙萬物的始基，不同情況的數按照數量的多少或它們之間不同的比例關係組成或構成宇宙中不同的物體，這就形成了宇宙中物體多與一的統一。 ^[2] 

畢達哥拉斯還把數從具體事物中抽象出來。他從三張桌子、三棵樹、三把椅子、三個人、三頭大象等具體事物中分離出了“三”這個數，看起來很平常的事情，但對後來的數學哲學來説，其意義非常巨大，使得人們對數學研究的視野從名數進入到常數,使得人們研究萬物的本原從具體的事物中抽象為脱離了具體事物的數，對後世數學和哲學的發展起到了重要的推動作用。 ^[2] 

據説畢達哥拉斯定理的發現歷史上有這樣的記載，畢達哥拉斯到一位朋友家做客，大家都在無聊地等待開飯，而畢達哥拉斯利用這段時間仔細觀察朋友家美麗方形的瓷地板磚,在畢達哥拉斯萬物皆數思想的驅動下，必然想到了它們和“數”之間有什麼聯繫。於是他拿出一支筆蹲在地上，以其中一塊瓷磚的對角線為邊畫正方形，發現這個正方形的面積恰好等於兩塊瓷磚的面積之和。 ^[2] 

雖然在畢達哥拉斯之前，已有很多人在探究它，但是，畢達哥拉斯是第一個把勾股定理普遍化的人(由適用於特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形)。把反映直角三角形三邊關係的畢達哥拉斯定理(勾股定理)進行量化進行抽象、進行較為嚴格的邏輯證明。 ^[2] 

畢達哥拉斯，在萬物皆數的數學哲學思想指導下，認真研究了事物內部的數的結構和數的比例關係，於公元前6世紀發現了黃金分割，有人稱之為“神聖分割”。

黃金分割實質上就是把一條線段分成長短不等的兩部分，較長的部分與較短的部分之比等於整個部分與較長部分之比，其比值就是1:0.618或1.618:1，由此導出了0.618或1.618這個黃金數字。 ^[2] 

畢達哥拉斯將數學引入了天文研究。他們構建了一個完整的宇宙體系。畢達哥拉斯認為十是一個完滿的數目。“人們根據存在於‘十’之中的能力研究‘數’的活動和本質；因為它‘十’是偉大的、完善的、全能的。”作圓周運動的天體共有十個。或是這十個天體的中心地球不是中心。哥白尼承認畢達哥拉斯的宇宙學説是其假説的先驅。 ^[5] 

畢達哥拉斯不僅是古希臘時期著名的哲學家,他還是西方音樂史上第一位音樂理論家。畢達哥拉斯認為萬物的本源是“數”,用數學的原則可以推演一切事物。在音樂方面,他把“數”與音樂聯繫在一起,提出“數”是音樂的根源,即“音樂是數字”。這種觀點是從“數學”的角度對音樂進行思考和研究,使音樂具有了理性的意識,從而開闊音樂領域的視野。畢達哥拉斯在音樂中滲透了“數學”邏輯的精準理念,把音樂和科學聯繫在一起,超出了音樂感性的審美體驗。從畢達格拉斯提出“數學與音樂”的觀點開始,西方音樂史上就沒有停止過關於“數學與音樂”的研究。 ^[4] 

畢達哥拉斯屬於唯心主義的哲學家，他用數來説明人的本性,社會道德和一切,認為整個字宙由數產生。“十”最和諧。他認為,整個字宙,一切事物都是按照數的和諧關係有秩序的建立起來的。人類是個大宇宙,具體每個人是個小宇宙也應和諧。 ^[3] 

畢達哥拉斯認為,就是奇數和偶數所體現的各種對立美系的調和。他把這些對立關係歸結為十種基本的關係,即奇數與偶數、一些多、有限與無限、左與右、陽與陰、動與靜、直與曲、明與暗、善與惡、方與長。在這十種對立關係中，最根本的是一與多。數是從一開始的,萬物的本質和始基就是一,如同線、面,體都從點出發一桂-和二的對立就是奇數與偶數的對立:二可以分為多，因此一與二及它以後的數的對立就是一與多、有限與無限的對立。所有這些對立關係的調和,就構成萬物的秩序。

他們有時説二就是意見,四就是正義,五就是婚姻,七就是死亡,八就是友誼和愛情。他還説神聖的數字是四和十。因為在四里麪包含着三、二、,4+3+2+1=10。這種牽強的比負當然是幼稚可笑的,簡直是“磨女的小九九"。不過,在他們的種種荒謬的解釋中也貫徹着他們的基本觸向，包含着他們的一種道德觀。這種道德觀的核心就是強調“和諧"和“秩序”。他們認為，“整個的天是一個和諧,一個數"。“一切都是和諧的”。和諧就是善:相反,就是惡。他們強調城邦不能沒有法律,統治者與被統治者要用愛來聯結,以及每個市民在國家中要有指定的地位等等，都是貫徹着他們的道德原則的。

道德歸於靈魂產生的，人是靈魂和肉體組成的和諧的整體,人的本性、道德、幸福等都是取決於靈魂。靈魂是自己推動自己的數，靈魂分有神性,由此得出靈魂不死，只有人才有靈魂,肉體死亡後,靈魂會植入動、植物中,靈魂不死,知道自己2700年前的四個化身,把人的本性和道德根源歸結為神秘的數,是唯心的,否定了人性和道德與外部世界的關係,實質上是否定人們追求現實物質利益的必要性,代表奴隸主貴族的利益，否定新興奴隸主民主派和平民為現實利益鬥爭的必要性、合理性。 ^[3] 

畢達哥拉斯研究數不是為了實際應用，而是想通過援露數的奧秘來探索宇宙的永恆真理。信奉萬物售數，認識到音樂的數學性質，並藉助天體的音樂把這種觀念推廣到宇宙萬物神穩的數字諧和性。 ^[3] 

畢達哥拉斯學派從音樂的和諧及人與藝術的關係,認為由於人的內在和諧與外在和諧的“同聲相應”,人才能欣賞藝術和美,進而強調音樂的美育“淨化”作用。畢達哥拉斯及其學派提出的音樂淨化靈魂的主張，可以説是西方最早的美育思想。畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原、始基、原則:“一切其它事物，就其整個本性來説，都是以數為範例的。畢達哥拉斯不僅把數的原則運用於白然事物、宇宙運動(宇宙的秩序是數的和諧)之中，也運用於社會事物及人的活動之中。他們把數的原則和美關聯起來，強調“秩序和勻稱都是美的和有用的，而無秩序和不勻稱則是醜的和無用的”,“身體美確實在於部分之間的比例對稱”畢達哥拉斯學派不僅把美和數、比例、和諧聯繫起來，同時把和諧、秩序引進人生、社會領域，認為它關係到人的靈魂的“淨化”與永恆生命的獲得。由此，他不僅為宇宙、自然尋求不變的秩序和原則，而且把靈魂的“淨化”、“和諧”以及追求一種理想化、永恆化的秩序建構作為哲學的主旨。也正是從這時開始，希臘哲學對人生、社會的理性化思考有了一種真正深刻的人文品格和審美品格。“在人身上最有力的部分是靈魂，靈魂可善可惡。人有了好的靈魂便是幸福的，他們從不休止，他們的生命是一個房屋的變化”。四)靈魂的淨化，追求人生理想，尋求真理，既是對智慧的追求，也是人的生活方式。 ^[1] 

他們把美的比例關係加以擴大，提出兩個宇宙的概念，把人看作小宇宙，把世界看作大宇宙，認為人的身體跟宇宙天體一樣，都由數的和諧原則統轄，人的內在和諧受到外在和諧的影響，一旦人的內在和諧與外在和下“同聲相應”，人便進入了藝術欣賞的狀態，從而對人的心靈產生淨化作用。 ^[1] 

畢達哥拉斯認為,美德乃是一種和諧,正如健康和神一樣。友誼也是一種和諧的平等。因此,他在《金言》中,提出要敬神敬父母,要用道德標準選擇朋友,對朋友要謙讓、忍耐:對人言行要公平,甚至人説壞話也要謙遜地退讓。他的這些思想，看起來是在一個狹隘的生活圈子裏提出的道德忠告,並且僅僅是出手利己的經驗和目的。但是，他試圖從他所經驗的團體和社會生活範圍內，提煉出一種普遍性的道德要求,對於實際生活加上一個道德規則,還是有積極意義的。畢達哥拉斯作為“第一個試圖講道德”的學者,他的《金言》應該説是古希臘道德規範體系的雛形。 ^[3] 

畢達哥拉斯學派的哲學和科學成就構成其教育思想的理論基礎。在他們的哲學中最重要的部分是關於人、人的靈魂以及靈魂與宇宙萬物關係的學説。畢達哥拉斯學派認為靈魂不滅和靈魂輪迴。他們特別強調靈魂的淨化和教育是實現淨化靈魂的重要途徑。策勒爾認為：“畢達哥拉斯團體的精神、原則和行止都植根於輪迴學説。”在人生的道德觀問題上畢達哥拉斯學派主張“和諧”和“秩序”。他們認為數的排列是和諧的、有序的所以社會也應當有和諧的秩序。按照幾何比例的平等法則個人的權利應與其貢獻相對應於是每個人在國家中便有了指定的地位。國家應該靠法律來規定和維繫這種秩序和在各個等級之間則應當通過愛來溝通。他們認為美德乃是一種和諧。人們應該敬神、敬父母對朋友要謙讓、忍耐對人言行要公平。這種理論實際上正是靠教育的導向、約束等功能來實現的。因此‚畢達哥拉斯學派的哲學要求教育來保證其實現和教育又藉助其哲學獲得了發展空間。 ^[5] 

畢達哥拉斯接受了埃及祭司的靈魂不死的宗教迷信觀念,認為人的靈魂分為三個部分,即表象、靈和生氣。動物只有表象和生氣面沒有靈魂,人則具備三者。靈魂的位置是在人體的心到腦的部分。在心裏的部分是生氣,在腦子裏的部分就是表象和心靈,即理性。他認為,靈魂的理性部分是不滅的。由此,他宣揚一種靈魂輪迴説,鼓吹靈魂在人死後依照命運的規定,從一個生物體中轉移到另一個生物體中，正如恩格斯所指出的:“在畢達哥拉斯學派那裏，靈魂已經是不死的和不可移動的,肉體對它來説是純偶然的。“不言面喻,按照命運的規定,人的靈魂也可以在人死後轉生為狗的靈魂。傳説有一天畢達哥拉斯看到有人打狗,就非常憐憫地對那個人説:不要打它,因為我聽出了它的聲音,是一個朋友的靈魂附着在它身上。畢達哥拉斯是第一個把這顆靈魂輪迴説引入希臘的。這就使他在古希臘的哲學倫理思想發展史上,起了十分惡劣的作用,這種作用特別在柏拉圖的哲學和倫理思想中突出地表現出來。 ^[3] 

畢達哥拉斯學派亦稱“南意大利學派”，是一個集政治、學術、宗教三位於一體的組織，由古希臘哲學家畢達哥拉斯所創立。該學派產生於公元前6世紀末，公元前5世紀被迫解散，其成員大多是數學家、天文學家、音樂家。它是西方美學史上最早探討美的本質的學派。

畢達哥拉斯曾旅居埃及，後來又到各地漫遊，在他的遊歷生活中，他受到當地文化的影響，瞭解到許多神秘的宗教儀式，還熟悉了它們與數的知識及幾何規則之間的聯繫。旅行結束後，他才返回家鄉撒摩斯島。由於政治的原因。他後來遷往位於南意大利的希臘港口克羅內居住。在這裏創辦了一個研究哲學、數學和自然科學的團體，後來便發展成為一個有秘密儀式和嚴格戒律的宗教性學派組織。

畢氏學派認為，對幾何形式和數字關係的沉思能達到精神上的解脱，而音樂卻被看作是淨化靈魂從而達到解脱的手段。

畢達哥拉斯學派的當代研究主題主要集中在人的美學和社會歸正，在這方面，當代人學家張榮寰將政治、學術、宗教迴歸到人的上升即人格極其生態的上升這一人類命運第一命題中，將一個科學的人類學、一個哲學的人類學、一個神學的人類學來求出人存在的某一層面“個性和共性”關係的成果，即更高質量人格的人，在生物性層次、在歷史性層次、在社會性層次、在自我性層次予以貫通。

1.人類幸福只能是人格社會的產物；是新人格，是新生態和諧共進的結果。

2.幸福不是宗派神學的禁慾體驗，也不是禮教理學的享樂感受，更不是金錢地位的無限慾望，而是信念和嚮往實現的人格滿足。

3.重視人的價值，要求提高人的思維能力及創造性潛力，鼓勵積極作為的人生態度，提倡積極開拓的精神；

4.人人能夠信仰真理。

5.以真誠的民主來反映現代社會人高智慧的社會存在。

6.提高人在羣體公共事物中的智慧能力，在個人、家庭、團體、組織、國家、乃至聯合國的制度中，讓人與人相互之間的關係和諧發展。

7.宗教改革、文藝復興和法制復興的終極目標是人的歸正。

1．禁食豆子。

2．東西落下了，不要用手揀起來。

3．不要去碰白公雞。

4．不要擘開麪包。

5．不要邁過門閂。

6．不要用鐵撥火。

7．不要吃整個的麪包。

8．不要招花環。

9．不要坐在鬥上。

10．不要吃心。

11．不要在大路上行走。

12．房裏不許有燕子。

13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。

14．不要在光亮的旁邊照鏡子。

15．當你脱下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平。

所有這些誡命都屬於原始的禁忌觀念。

傳説畢達哥拉斯的學生希帕索斯(Hippasus)發現了無理數。他在研究邊長為一的正方形時發現其對角線不能用整數之比表達。這個發現打破了畢達哥拉斯及其信徒的信條。據傳希帕索斯(Hippasus)因為公開了這件事而被學派投入大海喪生。但不論如何，無理數的發現為數學發展做出了重要貢獻 ^[6]  。

康福德（《從宗教到哲學》）説，在他看來，“畢達哥拉斯代表着我們所認為與科學傾向相對立的那種神秘傳統的主潮。”他認為巴門尼德——他稱之為“邏輯的發現者” ——“是畢達哥拉斯的一個支派，而柏拉圖本人則從意大利哲學獲得了他的靈感的主要來源”。

他説畢達哥拉斯主義是奧爾弗斯教內部的一種改良運動，而奧爾弗斯教又是狄奧尼索斯崇拜中的改良運動。理性的東西與神秘的東西之互相對立貫穿着全部的歷史，它在希臘人中間最初表現為奧林匹克的神與其他較為不開化的神之間的對立，後者更接近於人類學者們所研究的原始信仰。在這個分野上，畢達哥拉斯是站在神秘主義方面的，雖然他的神秘主義具有一種特殊的理智性質。他認為他自己具有一種半神明的性質，而且似乎還曾説過，“既有人，又有神，也還有象畢達哥拉斯這樣的生物。”康福德説，受他所鼓舞的各種體系“都是傾向於出世的，把一切價值都置於上帝的不可見的統一性之中，並且把可見的世界斥為虛幻的，説它是一種混濁的介質，其中上天的光線在霧色和黑暗之中遭到了破壞，受到了矇蔽”。

伯奈特把這種道德觀總結如下：“我們在這個世界上都是異鄉人，身體就是靈魂的墳墓，然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒權利逃避。在現世生活裏有三種人，正象到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。那些來作買賣的人都屬於最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看的人們。因此，一切中最偉大的淨化便是無所為而為的科學，唯有獻身於這種事業的人，亦即真正的哲學家，才真能使自己擺脱‘生之巨輪’。”

文字涵義的變化往往是非常有啓發意義的。 我在上文已經提到“狂歡”（orgy）那個字；現在我就要談談“理論”（theory）這個字。這個字原來是奧爾弗斯教派的一個字，康福德解釋為“熱情的動人的沉思”。他説，在這種狀態之中“觀察者與受苦難的上帝合而為一，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活”；對於畢達哥拉斯，這種“熱情的動人的沉思”乃是理智上的，而結果是得出數學的知識。

這樣，通過了畢達哥拉斯主義，“理論”就逐漸地獲得了它的近代意義；然而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來説，它一直保存着一種狂醉式的啓示的成份。這一點，對於那些在學校裏無可奈何地學過一些數學的人們來説，好像是很奇怪的；然而對於那些時時經驗着由於數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來説，對於那些喜愛數學的人們來説，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。彷彿經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。

最有趣的是，我們從伯奈特敍述的畢達哥拉斯的倫理學裏，可以看出與近代價值相反的觀念。譬如在一場足球賽裏，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀眾偉大得多。至於國家，情形也類似：他們對於政治家（政治家是比賽中的競爭者）的崇拜有甚於對於那些僅僅是旁觀者的人們。這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、財閥、獨裁者，各有其自己的善與真的標準。君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一片的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。應該注意到在這個定義裏也包括着聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽於沉思的而不是積極活動的。

近代關於真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關於真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由於與貴族政權相反對的工業文明所激起的。

無論人們對於容許奴隸制存在的社會制度懷着怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裏，我們才有了純粹的數學。沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，並使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。

關於畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。在這兩方面，他都有着無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想象的那樣是分離開來的。

大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯繫在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯繫在一片，化學和煉丹術聯繫在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、準確的，而且可以應用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便設想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啓示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。

正如大家所知道的，畢達哥拉斯説“萬物都是數”。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。

他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裏的“調和中項”與“調和級數”就仍然保存着畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然説數的平方與立方，這些名詞就是從他那裏來的。

他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該説是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。

畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到3²+4²=5²的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形裏，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那麼m²/n²=2。

如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m²=2n²，所以若n是偶數，則m也是偶數；因此n就是奇數。假設m=2p。那麼4p²=2n²，因此n²=2p²，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。

這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是説，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。

柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)²=a²+b²+2ab。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示着十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了座標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。

幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。“獨立宣言”“我們認為這些真理是自明的”，其本身便脱胎於歐幾里德。十八世紀天賦人權的學説，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配着的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。

我相信，數學是我們信仰永恆的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。幾何學討論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多麼小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理只能應用於與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證説，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。神秘主義關於時間與永恆的關係的學説，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恆的而不在時間之內。這種永恆的對象就可以被想象成為上帝的思想。因此，柏拉圖的學説是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。與啓示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配着的。

數學與神學的結合開始於畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特徵。畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似於亞洲的神秘教。但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有着一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對於不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，並使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直截了當的神秘主義區別開來。只是到了最近的時期，人們才可能明確地説出畢達哥拉斯錯在哪裏。我不知道還有什麼別人對於思想界有過象他那麼大的影響。我之所以這樣説，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。有一個只能顯示於理智而不能顯示於感官的永恆世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裏得來的。如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證.明.。但是在他的身上，這一切還都不顯著。

《西方哲學史–畢達哥拉斯》

作者：英 伯特蘭·羅素著 來源：《西方哲學史》畢達哥拉斯對古代和近代的影響是我這一章的主題；無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。

數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。

讓我們先從關於他生平已知的一些很少的事實談起。他是薩摩島的人，大約鼎盛於公元前523年。有人説他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，另有人説他是阿波羅神的兒子；我請讀者們在這兩説中自行選擇一種。在他的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治着，這是一個發了大財的老流氓，有着一支龐大的海軍。

薩摩是米利都的商業競爭者；它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。波呂克拉底大約於公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的；他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服於波斯的這件事情對他非常有利。

為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會要勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及；但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但是最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝着要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助；波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。

波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據説——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裏學得的；無論情形如何，可以確定的是他最後定居於意大利南部的克羅頓。意大利南部的各希臘城市也象薩摩島和米利都一樣，都是富庶繁榮的；此外，它們又遭受不到波斯人的威脅。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口；據狄奧多羅斯説，它的人口當全盛時期曾達三十萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至意大利為生，一部分貨物是做為意大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。

意大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰；當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯徹底地被毀滅了（公元前510年）。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯繫。克羅頓以醫學著名；克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又作過大流士的御醫。

畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，於是他就搬到梅達彭提翁（也在意大利南部），並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦與了種種奇蹟和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者②。這樣，就有兩種相反的傳説爭論着他的事蹟，而真相便很難弄清楚。

畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關於他的傳説幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳説的最單純最少爭論的形式裏，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。

簡單地説來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人的結合。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪迴①和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現為一種宗教團體，這一教團到處取得了對於國家的控制權並建立起一套聖人的統治。但是未經改過自新的人渴望着吃豆子，於是就遲早都反叛起來了。