子代數格

子代數格(subalgebra lattice)是泛代數的一個概念。一個泛代數l是一個二元組<A,F>，其中A是一個非空集合，稱A為l的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定義於A上的運算集合(F可能是有限集)，一個泛代數的所有子代數構成的格稱為它的子代數格。 ^[2] 

泛代數是代數學的一個分支學科。泛代數是在羣、環、域、格等代數系統研究的基礎上進一步抽象得以發展起來的一般代數系統。一個泛代數U是一個二元組〈A，F〉，其中A是一個非空集合，稱A為U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定義於A上的運算集合(F可能是有限集，也可能是無限集)。對於泛代數可以仿照羣、環、域中的方式定義子代數、同態、同構概念等。

早在1898年，懷特海(Whitehead，A.N.)就意識到要研究泛代數。但直到20世紀30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的論文發表以前，泛代數的研究沒有什麼發展。這和當時近世代數的大部分分支沒有得到充分的發展有關。從1935年到1950年，泛代數的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向進行的，即，研究自由代數、同態定理、同構定理、合同關係格、子代數格等。

由於數理邏輯的發展，為泛代數的研究提供了一個新的工具，特別是哥德爾完全性定理、塔爾斯基可滿足性概念、緊緻性定理等，使人們意識到邏輯在代數中應用的可能性。馬爾茨夫(Malcev)於1941年發表了這方面的第一篇論文，由於戰爭，他的論文沒有引起人們的注意.後來，塔爾斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和魯賓孫(Robinson，A.)開始這方面的研究工作。

利用模型論(數理邏輯的一個分支)研究泛代數的主要代表人物有塔爾斯基、亨金、查爾各(Charg，C.C.)、瓊森(Jonsson，B.)、凱斯勒爾(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨爾洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人.當然，泛代數的結果也可應用於模型論的研究。

泛代數除了在數學本身的研究中有廣泛應用外，對計算機語言和語義理論的研究也有越來越大的作用。 ^[3] 

子代數也叫子羣胚。設E與E′為兩個羣胚。稱E′是E的子羣胚，如果E′是E的子集，且從E′到E中的典範單射是羣胚同態。

子幺半羣，子羣，子環，子體，子向量空間，子代數及酉子代數的定義是類似的。

設E為羣胚，而E′為E的子集.如果E′是E的子羣胚，則子集E′對E上的合成法則是穩定的，且羣胚E′上的合成法則正好是由E的法則誘導出的法則。反之，如果E′是E的穩定子集，則由E的法則誘導出的E′的法則在E′上定義一個羣胚結構。賦以這一結構，E′是E的子羣胚。所以稱羣胚E的穩定子集E′是E的子羣胚，這意味着賦予E′以E的法則所誘導出的法則。

“格”是一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按藴涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數學分支中都有應用。例如，在代數學中，對於一個羣G與其子羣格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

格h格 設(L，&pound;)是一個偏序集，如果對於"a,b&Icirc;L，L的子集{a,b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a,b})和一個最小上界(記為sup{a,b}),則稱(L，&pound;)是一個偏序格.

子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。

h代數格 在L定義二元運算*和·，滿足：對"a,b,c&Icirc;L,有

(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

則稱(L，*，·)是代數格.

用代數的語言，格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。

h對偶式 由1，0，和可以代表格中的任意元素的變量通過+，×運算連結起來的式子，就是格中的表達式，記作f。將f中的0換成1，1換成0，+換成×，×換成+所得的表達式，就是表達式f的對偶式記作f。h

h對偶原理 若f為真，則f為真。

代數格亦稱緊緻生成格。一種應用廣泛的格。設L是備格，a∈L，若對XL，a≤∨X，存在X的有限子集X₁，使得a≤∨X₁，則稱a為L的緊緻元。若備格L的任一元均為緊緻元的並，則稱L為代數格。任意格的合同格是代數格。格L是代數格當且僅當L與某個含0的並半格的理想格同構，這是代數格的一個很有用的性質。代數格是伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)於1967年引入的，但他並未假設完備性。代數格對合同格的刻畫、格的表示理論和無限維代數理論的研究均有重要作用。 ^[4]