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多元正態分佈

多變量正態分佈亦稱為多變量高斯分佈。它是單維正態分佈向多維的推廣。它同矩陣正態分佈有緊密的聯繫。^[1]

多元正態分佈一般形式

N維隨機向量

如果服從多變量正態分佈，必須滿足下面的三個等價條件：

任何線性組合

存在隨機向量

( 它的每個元素服從獨立標準正態分佈），向量

及

矩陣A滿足

存在

和一個對稱半正定陣

如果

是非奇異的，那麼該分佈可以由以下的PDF來描述：

注意這裏的

表示協方差矩陣的行列式。

在二維非奇異的情況下（k= rank(Σ) = 2），向量[XY]′的概率密度函數為：

其中ρ是X與Y之間的相關係數，

且

。在這種情況下，

參考資料

1. Tong, Y. L. (1990). The multivariate normal distribution. Springer Series in Statistics. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9655-0. ISBN 978-1-4613-9657-4.

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