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矩陣正態分佈
鎖定
在統計學中，矩陣正態分佈或矩陣高斯分佈是概率分佈，是多元正態分佈到矩陣值隨機變量的概括。
- 中文名
- 矩陣正態分佈
- 外文名
- Matrix normal distribution
- 本 質
- 概率分佈
- 領 域
- 統計學
矩陣正態分佈定義
隨機矩陣X（n×p）的概率密度函數遵循矩陣正態分佈
具有以下形式：
其中
表示跡，M是n×p，U是n×n，V是p×p。
矩陣法線通過以下方式與多元正態分佈相關：
當且僅當
其中
表示Kronecker積，
表示
的矢量化。
矩陣正態分佈證明
可以使用跡線和Kronecker乘積的若干屬性來顯示上述矩陣法線函數和多元法線密度函數之間的等價，如下所示。我們從矩陣法線PDF的指數的參數開始：
這是多元法線PDF的指數的參數。使用行列式屬性完成證明：
矩陣正態分佈屬性
如果
，然後我們有以下屬性：
矩陣正態分佈預期值
平均值或預期值為：
我們有以下二階預期：
其中
表示跟蹤。
更一般地，對於適當尺寸的矩陣A，B，C：
矩陣正態分佈轉換
轉置變換：
線性變換：令D（r-by-n），滿秩r≤n且C（p-by-s），滿秩s≤p，則：
矩陣正態分佈例子
讓我們設想根據多元正態分佈相同分佈的n個獨立p維隨機變量的樣本：
當定義第i行為
的n×p矩陣
時，我們得到：
其中
的每一行等於
，即
，
是n×n單位矩陣，即行是獨立的，
。
矩陣正態分佈最大似然估計
給定k個矩陣，每個大小為n×p，表示為
，我們假設已對其進行了採樣iid從矩陣正態分佈，可以通過最大化獲得參數的最大似然估計：
平均值的解決方案具有封閉形式，即
但協方差參數沒有。但是，這些參數可以通過將其梯度歸零來迭代地最大化：
和
協方差參數在某種意義上是不可識別的，對於任何比例因子，s> 0，我們有：
矩陣正態分佈從分佈中繪製值
矩陣正態分佈的採樣是多元正態分佈的採樣過程的特例。 讓
為來自標準正態分佈的np個獨立樣本的n×p矩陣，因此
然後讓
因此
