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埃爾米特多項式
鎖定
埃爾米特多項式得名於法國數學家夏爾·埃爾米特。
- 中文名
- 埃爾米特多項式
- 外文名
- Hermite polynomial
- 分 類
- 計算機
- 類 別
- 正交多項式
- 創始人
- 夏爾·埃爾米特
- 應 用
- 數學 物理學
埃爾米特多項式定義
第一種是概率論中較為常用的形式(又記作:
):
另一種是物理學中較為常用的形式(又記作:
):
這兩種定義並不是完全等價的。它們之間的關係是:
前六個(物理學中的)埃爾米特多項式的圖像。
序號 | 概率學 | 物理學 |
---|---|---|
埃爾米特多項式性質
多項式Hn是一個n次的多項式。概率論的埃爾米特多項式是首一多項式(最高次項係數等於1),而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於2。
[3]
埃爾米特多項式正交性
多項式Hn的次數與序號n相同,所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的權函數w,埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。
也就是説,當m≠n時:
除此之外,還有:
其中
是克羅內克函數。
從上式可以看到,概率論中的埃爾米特多項式與標準正態分佈正交。
埃爾米特多項式完備性
在所有滿足
埃爾米特多項式微分方程
概率論中的埃爾米特多項式是以下微分方程的解:
方程的的邊界條件為:u應在無窮遠處有界。
而物理學中的埃爾米特多項式則是以下微分方程的解:
其本徵值同樣為
∈
,對應的本徵函數解為
。
以上兩個微分方程都稱為埃爾米特方程。
- 參考資料
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- 1. B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
- 2. Fedoryuk, M.V., H/h046980, (編) Hazewinkel, Michiel, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- 3. Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9