全局漸近穩定性

全局漸近穩定性是一類全相空間均為吸引區域的漸近穩定性。考慮微分方程組

其中

在域

上定義且連續並滿足局部李普希茨條件，同時設

，因此，對任何初始值

，存在(1)的惟一的解

滿足

。由李亞普諾夫第二方法知道，如果存在一個定正函數

，它關於(1)的導數

是定負的，那麼，方程(1)的奇點

是漸近穩定的，方程組(1)的奇點

的吸引區域(或稱漸近穩定性區域)是所有具有性質

的點

的集合。如果吸引區域是整個相空間

，則

被稱為全局漸近穩定的，這時下面的結論成立：如果存在定正函數

，它關於(1)的導數

是定負的，並且

是徑向無界的，則奇點

是全局漸近穩定的，李亞普諾夫(А.М.Ляпунов,)原來只考慮原點附近即局部的穩定性，克拉索夫斯基(Н.Н.Красовский)將其推廣為全相空間，即全局的穩定性 ^[1]  。

考慮如下非線性動態系統(可以是控制量保持不變的被控對象，也可以是包括被控對象和控制器在內的閉環系統)的狀態方程

式中，

為n維狀態向量；

為初始狀態；

為連續時間變量；

為初始時刻 ^[2]  。

如果狀態空間存在某一狀態

滿足

則稱

是系統的一個平衡狀態，也稱平衡點。也就是説，只要無外力作用於系統，存平衡點處系統狀態的變化速度為0，系統將永遠保持在這個平衡狀態上。

如果對於任意給定實數

，存在一個與

和

有關的實數

，只要初始狀態

滿足

，系統狀態方程式(2)的解

滿足

那麼，稱系統的平衡點

是Lyapunov意義下穩定的。

註釋： 定義中實數

通常有

，定義的直觀含義是，在系統受到較小的初始擾動後。系統運動的軌線不會偏離平衡點很遠。在二維情況下，設,

的分量分別是

和

，那麼在

和

組成的二維狀態空間平面中．狀態方程式(2)的解就是起點為

的一條連續的運動軌跡。定義所指的Lyapunov意義下穩定的含義如圖1(a)所示。

另外，凡是不滿足穩定性定義的系統是不穩定系統，其直觀意義如圖1(d)所示。

連續時變非線性系統的狀態空間模型的一般形式為

式中，

為n維狀態變量，

和

分別為系統的輸入和輸出向量；t為連續時間變量；

為

對時間t的一階導數；

和

分別為關於

和

的有界、連續可微的非線性向量函數；n為系統的階次。

如果式(3)所示動態系統的一個平衡狀態

滿足

(1)

是Lyapunov意義下穩定的；

(2) 存在一個實數

，使得只要初始狀態滿足

，就有

則稱

是漸近穩定的。

註釋: 定義的含義是一切由平衡點的，個小的鄰域m發的運動軌線，最終都將收斂到平衡點處，如圖1(b)所示。

如果式(3)所示動態系統的一個平衡狀態

對所有

有

①

是穩定的；

②

則稱

是全局漸近穩定的。

註釋： 定義的直觀解義如圖1(c)所示。對於線性系統而言，一個線性系統如果全局漸近穩定，那麼一定是漸進穩定。

上述各種穩定性定義之間的包含關係如圖2所示 ^[2]  。