漸進穩定性

漸進穩定性，常微分方程穩定性理論的重要概念之一。如果O是穩定的並且對每一個t₀≥τ，存在η(t₀)，使得對每一個ξ>0及‖x0‖<η(t₀)，存在對應的T(x₀,t₀,ξ)，使當t≥t₀+T時，有‖x(t,t0,x0)‖<ξ，則稱O為漸進穩定的。如果可以選到與x₀無關的T=T(t₀,ξ)，則稱O為同等漸進穩定的.O為穩定的，等價於對每一固定的t₀≥τ，x(t,t₀,x₀)在x₀=0的連續性相對t∈[t₀，+∞)是一致的；O的漸進穩定性等價於O為穩定的且具有吸引的性質。 ^[1] 

若系統的平衡狀態x_e不僅具有李雅普洛夫意義下的穩定性，且有

則稱此平衡狀態是漸進穩定的。 ^[2] 

如果對任意ε>0，都存在δ(ε,t₀)，使得只要

成立，則稱原點是在李雅普諾夫意義下是穩定的。

如果從任意狀態出發的運動都漸進收斂於原點，則稱該原點是大範圍漸進穩定的。

如果對於某些實數ε>0和任意實數δ>0，不管佔多麼小，在S(δ)內，總有一個狀態x₀，使得從x₀出發的運動會離開S(δ)，則稱該原點的平衡狀態不穩定。 ^[2] 

對於所有t，滿足

的狀態x_e稱為平衡狀態。 ^[2]