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轉動慣量
鎖定
- 中文名
- 轉動慣量
- 外文名
- Moment of Inertia
- 表達式
- I=mr²
- 適用領域
- 剛體動力學
- 應用學科
- 物理學
轉動慣量基本含義
轉動慣量質量轉動慣量
其量值取決於物體的形狀、質量分佈及轉軸的位置。剛體的轉動慣量有着重要的物理意義,在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業領域也是一個重要參量。電磁系儀表的指示系統,因線圈的轉動慣量不同,可分別用於測量微小電流(檢流計)或電量(衝擊電流計)。在發動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衞星的外形設計上,精確地測定轉動慣量,都是十分必要的。
轉動慣量只決定於剛體的形狀、質量分佈和轉軸的位置,而同剛體繞軸的轉動狀態(如角速度的大小)無關。形狀規則的勻質剛體,其轉動慣量可直接用公式計算得到。而對於不規則剛體或非均質剛體的轉動慣量,一般通過實驗的方法來進行測定,因而實驗方法就顯得十分重要。轉動慣量應用於剛體各種運動的動力學計算中。
轉動慣量的表達式為
若剛體的質量是連續分佈的,則轉動慣量的計算公式可寫成
轉動慣量相關定理
轉動慣量平行軸定理
平行軸定理:設剛體質量為
,繞通過質心轉軸的轉動慣量為
,將此軸朝任何方向平行移動一個距離
,則繞新軸的轉動慣量
為:
一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行於z軸且通過質心的固定軸的轉動。也就是説,繞z軸的轉動等同於繞過質心的平行軸的轉動與質心的轉動的疊加。
利用平行軸定理可知,在一組平行的轉軸對應的轉動慣量中,過質心的軸對應的轉動慣量最小。
轉動慣量垂直軸定理
垂直軸定理:一個平面剛體薄板對於垂直它的平面的軸的轉動慣量,等於繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和。
表達式:
式中Ix,Iy,Iz分別代表剛體對x,y,z三軸的轉動慣量.
利用垂直軸定理可對一些剛體對一特定軸的轉動慣量進行較簡便的計算.
剛體對一軸的轉動慣量,可折算成質量等於剛體質量的單個質點對該軸所形成的轉動慣量。由此折算所得的質點到轉軸的距離 ,稱為剛體繞該軸的回轉半徑κ,其公式為
,式中M為剛體質量;I為轉動慣量。
除以上兩定理外,常用的還有伸展定則。伸展定則闡明,如果將一個物體的任何一點,平行地沿着一支直軸作任意大小的位移,則此物體對此軸的轉動慣量不變。 我們可以想像,將一個物體,平行於直軸地,往兩端拉開。在物體伸展的同時,保持物體任何一點離直軸的垂直距離不變,則伸展定則闡明此物體對此軸的轉動慣量不變。伸展定則通過轉動慣量的定義式就可以簡單得到。
轉動慣量動力學公式
角加速度與合外力矩的關係:
角動量:
剛體的定軸轉動動能:
注意這只是剛體繞定軸的轉動動能,其總動能應該再加上質心平動動能。由這一公式,可以從能量的角度分析剛體動力學的問題。
轉動慣量張量定義
剛體繞某一點轉動的慣性可由更普遍的慣性張量描述。慣性張量是二階對稱張量,它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。出於簡單的角度考慮,這裏僅給出繞質心的轉動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達式。
為單位張量,標架
是一個典型的單位正交曲線標架;
是剛體的密度。
轉動慣量張量的力矩方程
設剛體A所受到的繞其質心C的合力矩矢量為
,剛體A在慣性系下的角速度矢量為
,角加速度矢量為
,A繞其質心的轉動慣量張量為
,則有如下的力矩方程:
將上面的矢量形式的力矩方程向各個座標軸投影(或者,更確切地説,與各個座標軸的單位方向矢量相點乘),就可以獲得各個座標軸分量方向的標量形式的力矩方程。
轉動慣量實驗測定
實際情況下,不規則剛體的轉動慣量往往難以精確計算,需要通過實驗測定。測定剛體轉動慣量的方法很多,常用的有三線擺、扭擺、復擺等。三線擺是通過扭轉運動測定物體的轉動慣量,其特點是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體,如機械零件、電機轉子、槍炮彈丸、電風扇的風葉等的轉動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術上有一定的實際意義。
轉動慣量實驗原理
如右所示,三線擺的上盤沿等邊三角形的頂點對稱地連接在下面的一個較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點上。實驗時,先使下盤空載,令上盤轉過一個小角度,此時下盤開始做扭擺運動,同時,下圓盤的質心
將沿着轉動軸升降。記其振動週期為
,下盤質量為
。接下來將質量為
的待測物體放在下盤上,使其質心恰位於下盤中軸線上,然後再次使下盤做扭擺運動,並記其週期為
。
利用平行軸定理,即可得到質量為
的物體的轉動慣量
式中,
是上、下圓盤中心的垂直距離;
是下圓盤在振動時上升的高度;
是上圓盤的半徑;
是下圓盤的半徑;
是扭轉角。
轉動慣量實驗內容
1.測定儀器常數。
恰當選擇測量儀器和用具,減小測量不確定度。自擬實驗步驟,確保三線擺的上、下圓盤的水平,使儀器達到最佳測量狀態。
2.測量下圓盤的轉動慣量 ,並計算其不確定度。
轉動三線擺上方的小圓盤,使其繞自身軸轉一角度α,藉助線的張力使下圓盤作扭擺運動,而避免產生左右晃動。自己擬定測 的方法,使週期的測量不確定度小於其它測量量的不確定度。利用式,求出 ,並推導出不確定度傳遞公式,計算的不確定度。
3.測量圓環的轉動慣量
4.驗證平行軸定理
將質量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上,注意使質心與下圓盤的質心重合。測量轉動軸通過圓柱質心時,系統的轉動慣量 。然後將兩圓柱對稱地置於下圓盤中心的兩側。測量此時系統的轉動慣量 。 測量圓柱質心到中心轉軸的距離計算,並與測量值比較。
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轉動慣量計算公式
轉動慣量對於細杆
當迴轉軸過杆的中點(質心)並垂直於杆時,
;
當迴轉軸過杆的端點並垂直於杆時,
。
式中m是杆的質量,L是杆的長度。
轉動慣量對於圓柱體
當迴轉軸是圓柱體的軸線時,
。
式中m是圓柱體的質量,r是圓柱體的半徑。
轉動慣量對於細圓環
當迴轉軸通過環心且與環面垂直時,
;
當迴轉軸通過環邊緣且與環面垂直時,
;
當迴轉軸沿環的某一直徑時,
。
式中m是細圓環的質量,R是細圓環的半徑。
轉動慣量對於薄圓盤
當迴轉軸通過中心與盤面垂直時,
;
當迴轉軸通過邊緣與盤面垂直時,
。
式中m是薄圓盤的質量,R是薄圓盤的半徑。
轉動慣量對於空心圓柱
當迴轉軸為空心圓柱的對稱軸時,
。
式中m是空心圓柱的質量,R1和R2分別是空心圓柱的內外半徑。
轉動慣量對於球殼
當迴轉軸為球殼的中心軸時,
;
當迴轉軸為球殼的切線時,
。
式中m是球殼的質量,R是球殼的半徑。
轉動慣量對於實心球體
當迴轉軸為球體的中心軸時,
;
當迴轉軸為球體的切線時,
。
式中m是球體的質量,R是球體的半徑。
轉動慣量對於立方體
當迴轉軸為立方體的中心軸時,
;
當迴轉軸為立方體的稜邊時,
;
當迴轉軸為立方體的體對角線時,
。
轉動慣量對於長方體
當迴轉軸為長方體中心軸時,
。
式中m是長方體的質量,l1和l2是與轉軸垂直的長方形的兩條邊長。
例題
已知:一個直徑是80mm的電機軸,長度為500mm,材料是鋼材。求當在0.10秒內使它達到500轉/分的轉速時所需要的力矩大小。
解:D=80mm=0.080m,h=500mm=0.500m,t=0.10s,ω=2π×500rad/min=2π×500/60rad/s=52.36rad/s.
鋼材的密度取ρ=7.8×10³kg/m³.
電機軸可認為是圓柱體過軸線,設轉動慣量為J,質量為m,半徑為r,力矩大小為M,角加速度大小為β,有:
解得
代入數據得 M=8.2N·m
- 參考資料
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- 1. 趙凱華 羅蔚茵.新概念物理教程-力學:高等教育出版社,2006
- 2. 李復.力學教程(上):清華大學出版社,2011
- 3. 沈晨.更高更妙的物理(第三版):浙江大學出版社,2010
- 4. [美]R.P.Feynman等.費曼物理學講義-第二冊:上海科學技術出版社,1989:387-389
- 5. 用三線擺測剛體的轉動慣量 .大學物理實驗網絡課程[引用日期2014-05-01]