det

（1）功能：det為矩陣的行列式值。det計算某一方陣(行列相等的二維數組)的對應行列式值每一矩陣都有一個對應的行列式。行列式是對矩陣表按一定規則進行運算之後所得到的一個數值。行列式可以確定出對應矩陣是否存在着逆,即確定矩陣的奇異性,可以用來解線性方程組等。當行列式為0或近似於0時,其對應逆矩陣不存在,或雖然存在,但計算機計算出來的結果不正確。 ^[1] 

（2）語法：d = det(X)

返回方陣X的行列式值。如果X僅包含一個整數元素，返回的結果d也是一個整數。

（3）解析：將der(X)==0作為對矩陣奇異性的測試僅適合具有階和較小整數元素的矩陣。使用abs(det(X))<=tolerance作為檢測矩陣奇異性的方法同樣也不是推薦方法，原因在於正確選擇的容差tolerance非常困難。函數cond(X)則可以檢查奇異或者接近奇異的矩陣。 ^[2] 

（4）算法：行列式的值是通過高斯消元法得到三角矩陣的係數得到的。

[L,U]=lu(A)

s= det(L) %這一值總為+1l或-1

det(A)=s*prod(diag(U))

（5）應用實例

語句A=[1 2 3；45 6；7 8 9]得到

該矩陣恰好是一個奇異矩陣，所以d=det(A)的結果為d=0。將元素A(3,3)改變為A(3,3)=0可以將A變為一個非奇異的矩陣。則d=det(A)的結果為d=27。

（5）詳解

在FreeMat中，一個方陣的行列式是通過LU分解計算得到的。需要注意的是，若干個矩陣相乘得到的矩陣的行列式等於這些矩陣的行列式相乘。於是，我們得到：

LU=PA

這裏L是一個對角線上元素全為1的下三角矩陣（lower triangular），U是一個上三角矩陣（upper triangular），P是一個行置換矩陣（row-permutation matrix）：

|LU|=|L||U|=|U|=|PA|=|P||A|

這裏我們應用了L的行列式為1這個結論。P的行列式為1或-1。

所謂置換矩陣，是指交換一個n*n的單位矩陣的兩行得到的矩陣（在線性代數中，這種操作叫做矩陣的初等變換）。置換矩陣的每行/列都只有一個1，其餘元素全為0。

rank，inv

在FreeMat中的示例：

--> A = [0 0 0; 1 2 3; 4 5 6];

--> det(A)

ans =

0

--> B = [1 2; 3 4];

--> det(B)

ans =

-2

看一個極端情況，如果(a,b)=(c,d),即向量(a,b)與(c,d)重合，面積肯定為0。