Z分數

z分數能夠真實的反映一個分數距離平均數的相對標準距離。如果我們把每一個分數都轉換成z分數，那麼每一個z分數會以標準差為單位表示一個具體分數到平均數的距離或離差。將成正態分佈的數據中的原始分數轉換為z分數，我們就可以通過查閲z分數在正態曲線下面積的表格來得知平均數與z分數之間的面積，進而得知原始分數在數據集合中的百分等級。一個數列的各z分數的平方和等於該數列數據的個數，並且z分數的標準差和方差都為1.平均數為0.

Z 分數也叫標準分數（standard score），它是以標準差為尺子去度量某一原始分數偏離平均數的距離，這段距離含有幾個標準差，z分數就是幾。從而確定這一數據在全體數據中的位置。稱這一過程為標準化。轉化的公式為：

式中：

X：原始數據；

：平均數；

S： 標準差。

Z 分數是以標準差為單位的離均差。從Z分數的計算可以看出，由於在運算過程中保留了原始數據與平均數的差的關係（X-

）,平均數的Z分數等於0，其它數值的z分數比平均數大的為正值，比平均數小的為負值。而且，任一原始數據與平均數的差的大小，決定了它的位置。所以，Z分數既能表示比其它數大多少或少多少；也可以表示該數的位置。

在統計中，Z分數是一個非常重要的指標，當原始分數的分佈形態是正態分佈時，把所有原始分數都轉化為Z分數，就形成了標準正態分佈 ^[1]  。

Z分數的應用主要有：①表示各原始數據在數據組中的相對位置；②對於正態數據，可表示該數據以下或以上數據的比例，具體説可以求解諸如分數線問題或人數比例問題；③表示標準化測驗的分數；④用於異常值的取捨。標準分數在學生教育評價中常有以下五種應用：縱橫比較、成績等級化、標準轉化、等級比例確定、品質評定數量化。

在數學統計中，任意變量X的標準化過程是減去它的期望值E(X)並且除以它的標準差

，即：

若上述任意變量X是任意採樣結果

的平均值

，即：

那麼，標準化格式變為： ^[2] 

由於Z分數存在正數負數，又有小數。使得Z分數在計算和解釋實驗結果、測驗結果時有些不好理解，因此，常要對Z分數作一線性變換，即將Z轉化為T分數，T分數既有z分數的分佈狀態即標準正態分佈又易於理解和解釋。利用線性公式轉換：

Y=m+k(z)

式中：Y：轉化後的分數；m,k常數，m 為轉換後新的分數的平均數，k 為轉換後新的分數的標準差。

T 分數就是以平均數為50，標準差為10 進行轉換後的分數。

T=50+10(z)

T分數的本質與Z分數一樣，保持單位等距，和使數據分佈歸於標準正態分佈。

在教育評估中，T分數是一個標準分數Z，並且平均數為50，標準偏差為10。

在骨密度測量中，與健康30歲成年人的人羣相比，T評分是測量的標準評分。 ^[3]