Riemann ζ 函數

那麼究竟什麼是 Riemann ζ 函數呢？ Riemann ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數) 　ζ(s) = Σn n (Re(s) > 1) 　在複平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為——如我們已經註明的——這一表達式只適用於複平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。 Riemann 找到了這一表達式的解析延拓 (當然 Riemann 沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的 Riemann ζ 函數可以表示為： 這裏我們採用的是歷史文獻中的記號， 式中的積分實際是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞——離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在複平面上的推廣， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點 (simple pole) 外， 在整個複平面上處處解析。 這樣的表達式是所謂的亞純函數 (meromorphic function)——即除了在一個孤立點集 (set of isolated points) 上存在極點 (pole) 外， 在整個在複平面上處處解析的函數——的一個例子。 這就是 Riemann ζ 函數的完整定義。

運用上面的積分表達式可以證明， Riemann ζ 函數滿足以下代數關係式——也叫函數方程 (functional equation)： 　ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)sin(πs/2)ζ(1-s) 　從這個關係式中不難發現， Riemann ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零——因為 sin(πs/2) 為零。 複平面上的這種使 Riemann ζ 函數取值為零的點被稱為 Riemann ζ 函數的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是 Riemann ζ 函數的零點。 這些零點分佈有序、 性質簡單， 被稱為 Riemann ζ 函數的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外， Riemann ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。 對 Riemann ζ 函數非平凡零點的研究構成了現代數學中最艱深的課題之一。 我們所要討論的 Riemann 猜想就是一個關於這些非平凡零點的猜想， 在這裏我們先把它的內容表述一下， 然後再敍述它的來籠去脈： 　Riemann 猜想: Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。 　在 Riemann 猜想的研究中， 數學家們把複平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line。 運用這一術語， Riemann 猜想也可以表述為： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於 critical line 上。