L類函數

設X為Dirichlet本原特徵，定義

為Dirichlet L函數．

因為

，故可由此定義完全DirichletL函數

其中

X為偶特徵,

X為奇特徵.

定理一 設X≠1(即為非平凡特徵)，則L(s,X)在區域Re(s)>0收斂，且在其緊集中一致收斂．而當Re(s)>1時有Euler積.

定理二設

為m級分圓域，則

其中X取滿足N(X)|m的Dirichlet本原特徵.

證明 只需證明

時的情況，此時

因此，只需證明

對任意素數均成立.

設

則p在K中的素分解為

f是使

的最小正整數，

,故有

而滿足

的X的全體即為Gm'。當X過Gm'時，X(p)過f次單位根乘羣W共

.故可得

從而定理得證 ^[2]  .

作為千禧難題之一的黎曼猜想，長期以來備受許多數學工作者們的關注。1989年，Selberg為了研究L-函數的線性組合的值分佈，以Riemann zeta函數為原型，定義了一類Dirichlet級數，其滿足歐拉乘積，解析延拓，Riemann-型函數方程，且提出了關於這一類函數的幾個基本猜想。引人興趣的是，Selberg指出這些猜想緊密聯繫着數論中的某些相關的經典猜想。從此而後,這一類所謂的Selberg類L-函數成為了複分析理論中的另一個非常熱門的研究課題，也是現代解析數論中的重要研究對象，但是對於這一類函數的理解尚未達到一個完整的框架。Selberg猜測，黎曼假設對所有Selberg類中的函數L成立。由黎曼猜想衍生出來的一類重要問題是關於簡單零點在全部非平凡零點中所佔比例的估計。.數學家們曾普遍猜測，函數L的所有零點都是簡單零點，我們稱之為簡單零點假設，但此命題迄今尚未得到證明。不過，與黎曼猜想類似，簡單零點假設也得到了許多數值及解析結果的支持。Steuding給出過關於廣義Selberg類L-函數c值點的漸進公式，並將其應用到Nevanlinna值分佈理論上.此方向引起了許多學者的興趣，對此進行了深入研究，成功地將兩個交叉學科融合在一起。另外，扈和李等人利用Riemann zeta函數在臨界直線上的零點構造了一個整函數，並利用此函數將黎曼猜想轉換成亞純函數問題。

以Nevanlinna值分佈理論為主要研究工具，討論廣義Selberg類L-函數的零點分佈問題。研究了 Dirichlet L-函數的單零點分佈問題。藉助值分佈理論，結合函數論中的abc猜想定理，給出關於模k的一族Dirichlet L-函數的判別零點估計式。此外，證明對任意有窮複數a，L-a的單零點在其全部零點中所佔的比例是個正值，至多除掉兩個例外值，並且給出此比例值的下確界。還有討論廣義Selberg類L-函數的導函數L(k)(s))的零點分佈問題等。根據L(k)(s)左右兩側的非零區域，並進一步給出L(k)(s)的零點估計式。研究廣義Selberg類L-函數與亞純函數具有分擔值的問題等。 ^[3]