GF(p)

設F是至少含2個元素的集合R，對R定義兩種運算，加法與乘法，分別用符號+與符號x來表示，當集合R中，加法滿足交換率，對於乘法來説是封閉的，並且滿足交結合律與分配律。那麼R被稱為一個環。如果環R至少包含一個不等於零的元，並且有一個單位元，且對於R中每一個不等於零的元有一個逆元，此時我們稱環R為一個除環，一個交換除環叫做一個域。當R的元素為有限個時，稱為有限域。

當p為素數時，F={0，1，2，……p-1} 在mod（p）下關於模運算的加法和乘法構成一個有限羣，這個羣就記為GF（p）。

GF(q)中當q為素數冪時，那麼GF(q)同構於GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF（p）上的不可約n次多項式。例如在有限域GF(8)中，即GF(2`3)，即在GF(2)上的3次不可約多項式。f(x)=x^3+x+1(所謂在GF（2）上不可約，就是0，1都不是這個多項式的根)，那麼GF(2)[x]/f(x)就是GF(8).把它的元素都寫出來GF(2)[x]/f(x)={a+bx+cx^2, a,b,c in GF(2)}寫出來有8個元素{0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}.他們的運算都按照模掉f（x）來加，乘。