Einstein關係

在電子學中的Einstein關係，是聯繫着帶電粒子的遷移率μ與擴散係數D之間的一個重要關係。

擴散係數D是表徵帶電粒子在濃度梯度驅動下、從高濃度處往低濃度處運動快慢的一個物理量，等於單位濃度梯度作用下的粒子流密度，單位為[cm2/s]。

因為載流子的遷移率和擴散係數都是表徵載流子運動快慢的物理量，它們都與散射有關，所以對於同一種粒子而言，其遷移率和擴散係數之間必然存在有正比的關係——Einstein關係。

當然，對於半導體中的載流子，它們的漂移和擴散之間，也必將滿足Einstein關係。

考慮半導體中一維運動的導帶電子。

當存在電場E和濃度梯度dn/dx時，產生的電流密度為：Jn=qμn n E + qDn (dn/dx)。

在熱平衡時，Jn=0，則有：μn = -( qDn/nE) (dn/dx)。

而電場可用勢能梯度表示為：E = (1/q)(dEc/dx)。

又，熱平衡時的電子濃度n與Fermi能級相對於導帶底的位置有關，即n是能量差(Ef-Ec)的函數。從而可以得到：μn = qDn [d(ln n)/dEf]。

這是廣義的Einstein關係，可用於簡併半導體。

對於非簡併半導體，因為熱平衡時的電子濃度為：n = Nc exp[-(Ec-Ef)/kT]。

則可得到非簡併情況下的Einstein關係，為：μn = [q/(kT)] Dn， Dn = (kT/ q) μn。

在室温下，擴散係數（cm2/s）將約為遷移率的0.026倍。當然，這種Einstein關係也表明擴散係數與温度的關係與遷移率的相同。

對於半導體中有效質量為m*的經典自由載流子，在温度T時的熱運動能量為：(1/2)m*vth2=(1/2)kT，

則 vth2 = kT/m*。 若載流子的平均自由程和平均自由時間分別為l和t，於是擴散係數可給出為：

D = vth l = vth2t = kTt/m*。

代入 m = qt/m*，就得到Einstein關係：D = (kT/q)m

當然，這種Einstein關係僅適用於非簡併半導體。

注意：載流子的擴散係數不同於雜質原子的擴散係數。在半導體工藝中雜質原子的擴散因為關係着晶格熱缺陷的形成，故與温度的係數很大——指數函數關係。但是載流子的擴散完全是在濃度梯度驅動下、在熱運動基礎之上的一種定向運動（從高濃度處往低濃度處運動），當然與温度有關，不過與温度的關係較小；根據Einstein關係可見，載流子的擴散係數的温度關係在很大程度上決定於載流子遷移率的温度關係。在室温下、當聲學波散射起主要作用時，μ隨着温度的升高而作3/2式地下降，這時D則與温度有平方根的反比關係（即D∝1/√T）。

載流子的擴散係數與摻雜濃度的關係也可按照與温度的關係來進行分析。即基本上也是決定於載流子遷移率的摻雜濃度關係。