截面積

截面（英語：Cross section）為一幾何學名詞，是指一三維空間下的物體和一平面相交所產生交集。截面的面積稱為截面積。

等冪等積定理説明若兩個固體對應的截面積相等，則其體積相等。

一物體以特定角度觀看時的截面積（

）是該物體在此角度下正交投影的總面積。例如一高為h，半徑為r的圓柱，若沿着其中心軸，其截面積

，若沿着任一個和中心軸垂直的線，其截面積

。一個半徑為r的球體，在任意角度下的截面積均為

。一物體的截面積可由下式的曲面積分求得：

其中

為沿着指定方向的單位向量，

是單位表面積向量，向量方向為往外的法向量。

而且上述積分只針對物體最上方的表面，也就是以觀者角度可見的那一面。對於一個凸體的物體，從觀者角度到物體的射線都會和物體的表面交會二次。因此上述積分可以以取絕對值的方式，針對整個表面計算，再除以2得到截面積如下：

祖𣈶原理，又名等冪等積定理，是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理。祖𣈶之《綴術》有云：“緣冪勢既同，則積不容異。”

該原理最早由中國古代數學家劉徽提出。南北朝時又被祖沖之的兒子祖𣈶提出。祖沖之兩父子採用這一原理，求出了牟合方蓋的體積，進而算出球體積。在歐洲17世紀意大利數學家卡瓦列裏亦發現相同定理，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列裏原理。

在現代的解析幾何和測度應用中，祖𣈶原理是富比尼定理中的一個特例。卡瓦列裏沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中，用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和開普勒的成績。這個定理引發了以面積計算體積的方法併成為了積分發展的一個重要步驟。 ^[1-2]