BA模型

在此之前，大多數網絡被想當然的認為是隨機的，因此連接度分佈可以近似用泊松分佈來表示，而巴拉巴西與其學生阿爾伯特、鄭浩雄通過對萬維網度分佈測量的結果卻顯示萬維網度分佈服從冪律分佈，存在樞紐節點（擁有大量鏈接的節點）。也許萬維網是特別的，巴拉巴西研究組進而又分析了兩個網絡系統——IBM計算機芯片佈線圖與好萊塢演員數據庫，結果其度分佈均遵循冪律分佈。

為什麼差異很大的萬維網、計算機芯片、演員網絡不同於隨機網絡反而擁有樞紐節點並服從冪律分佈，為了回答這個問題巴拉巴西提出了區別於隨機網絡模型的兩個要素生長和偏好連接，由此建立無標度模型，即BA模型。 ^[2] 

生長（增長性）：隨機網絡模型假設節點數目N是固定的。然而在真實的網絡中，由於新節點的加入，節點的數目是不斷增長的。

例如，互聯網、交通網絡、社交網絡隨着時間不斷的擴增。

偏好連接（優先連接性）：隨機網絡中節點隨機地選擇節點進行連接，而真實網絡中，新節點傾向於和鏈接數高的節點相連。

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初始時，網絡中有m₀個節點，這些節點任意連接，只需保證每個節點至少有一個鏈接即可，並按照生長與偏好連接逐步演變。

生長：每步向網絡中添加一個擁有m(≤m₀) 條鏈的新節點。

偏好連接：新節點每次在選擇連接時，選擇度為k_i 的節點進行連接的概率為

[ki指節點i的度數]

經過t個時間步後，模型生長為網絡節點數N=t+m₀，鏈接數為m₀+mt的網絡。

新節點加入時,它會在網絡中已經存在的N(t)個節點中選擇m個與之連接，用一個連續實數變量來近似ki，該變量可以理解為ki在多次網絡生長過程中的平均值。那麼i節點獲得新鏈接的速率可以寫成：

係數m體現每個新節點會帶來m個鏈接。因此，節點i有m次被選擇的機會，求和項針對新節點外的所有節點進行。

因此有

，此外當t步驟較大時，

可以忽略，得到

對其積分，並考慮到ki(ti)=m（節點i在時刻ti加入網絡）後有

稱β為動態指數，取值為

推論：每個節點的度都依照冪律增長，並且有相同的動態指數β=1/2。因此，所有的節點遵循相同增長規律。

度的增長是亞線性的（β＜1）。因此新節點加入網絡時總有比它之前加入的節點更多的節點可以連接。

節點越早加入網絡，它的度ki就越高。

BA模型所生成網絡的顯著特徵是具有冪律度分佈。目前對BA網絡度分佈的理論研究的方法主要有連續場理論，速率方程法，主方程法，得到的漸近結果都是相同的。

主方程法，定義p(k,t_i,t)為t_i時刻加入節點i在t時刻的度恰好是k的概率。在BA網絡中當一個新節點加入系統時，節點i的度增加1的概率為mΠ_i =k/2t,否則該節點度保持不變。由此得到遞推公式： ^[1] 

而BA無標度網絡的度分佈為：

它滿足如下遞推方程：

從而求得BA無標網絡的度分佈函數為

這表明BA無標度網絡可有冪指數為3的冪律函數近似描述。

m＞1且N較大時，平均路徑長度:

聚類係數：

·該模型預測度指數為γ=3，而真是網絡的度指數可以有更寬鬆取值(一般2到5間)。

·BA模型定義中有數學細節未指明包括初始M0個節點的連接情況；加入的節點新建的鏈是逐步的還是同時的，可能導致多重鏈接。

·萬維網、引文網絡等許多真實網絡都是有向的，而BA模型生成的網絡都是無向網絡。

·網絡中觀測到的很多過程，例如節點間形成鏈接、鏈接消失、節點消失等，在BA模型中沒有。

·BA模型是一個最較簡化的、原理性的模型，其主要初衷是刻畫無標度特性形成的基本機制，針對實際網絡系統還有其他特性需要考慮，如有向性、節點的消失等。