1089

任意寫一個三位數，百位數字比各位數字大3；交換百位數字與各位數字；用大數減去小數；交換差的百位數字與各位數字；做加法，那麼我們必然得到一個數，那就是1089。

設任一三位數x=100a+10b+c,簡記為abc，

依題意有a-c=3

交換百位數字與各位數字得cab=100c+10b+a,

用大數減去小數得abc-cab=100(a-c)-(a-c)=100*3 -3=297

交換差的百位數字與各位數字得792

做加法297+792=1089.

相互顛倒的乘數和積

1089和9801這兩個數中每個數排列的順序剛好相反，而且1089×9的結果恰好等於9801。

即abcd×e=dcba類型的算式成立，類似的算式還有2178×4=8712

由題意可得(1000a+100b+10c+d)*9=1000d+100c+10b+a

若a＞或=2，則該數一定變為5位數，又因為a不能為0，所以a=1，則d=9

因為dcba是9的倍數，a=1，d=9，可得9|（1+9+c+b）

得c+b=17或c+b=8

又由(1000a+100b+10c+d)*9=1000d+100c+10b+a可得10c-890b=80

將c+b=17和c+b=8分別代入，得

當c+b=17時,解得b=0.1不符合題意，所以不成立，

則可得2元一次方程：

10c-890b=80

c+b=8

可得b=0，將b=0代入，則得c=8

所以a=1，b=0，c=8，d=9

另外，若將1089乘以1到9的乘數，其乘積有以下的特性：若a和b的和為10，則令a和b乘以1089後的乘積其各位數字恰好相反，例如，當a=2、b=8時，2×1089=2178 ，8×1089=8712，2178和8712的各位數字恰好相反