齧合線

右圖1所示為一對漸開線齒廓在任意點K齧合，過K點作兩齒廓的公法線

，根據漸開線的性質，該公法線就是兩基圓的公切線，當兩齒廓轉到K'點齧合時，過K'點所作公法線也是兩基圓的公切線。由於齒輪基圓的大小和位置均固定，漸開線齒廓公法線nn是唯一的，因此不管齒輪在哪點齧合，齧合點總是在這條齒廓公法線上，即齧合線與齒廓公法線重合。由於齒輪傳動時正壓力沿着公法線方向傳遞，因此對於漸開線齒廓的齒輪傳動，齧合線、過齧合點的公法線、基圓的公切線和正壓力作用線四線合一 ^[1]  。

齧合線為一直線，漸開線齒廓的齧合線必與公法線

相重合，所以齧合線為一直線，齧合線的直線性質使得傳遞壓力的方向保持不變，從而使傳動平穩。

漸開線圓柱齒輪副的齧合線是一條與兩齒輪的基圓相切的內公切線，是一條直線。由於漸開線齒輪圓齒輪副每對共軛齒形均相同，故在傳動過程中這條直線的位置是不變的。也就是該直線與兩齒輪的中心連線的交點位置不變，因此可保證齒輪副有固定的傳動比。然而，非圓齒輪副則不同，原因是它的每對共軛齒形一般均不相同，故其齒形齧合線也不相同。

非圓齒輪齒形齧合線的求法如下：

（1）作圖法

由基本齧合定理知：定平面中的兩齒形接觸點上的共法線通過復節曲線上的對應點。該對應點在復節曲線上的位置由非圓齒輪副的瞬時傳動比確定。因此，在求一對共軛齒形的齧合線時，應該知道兩齒輪的中心距和其中一個齒輪的節曲線及齒形。

右圖2所示表示了以O為迴轉中心的非圓齒輪的節曲線和某一齒的齒形。直線OI為兩非圓齒輪的中心連線方向。過節曲線上的任意點1、2、3、4……，作該齒的齒形法線1-1'、2-2'、3-3'、4-4'……。點1'、2'、3'、4'……為齒形上的對應點。非圓齒輪傳動時，這些點便與共軛齒形上的對應點依次接觸。接觸點的軌跡即齒形齧合線。如在某一位置，兩齒形在3點接觸，3點既是齒形齧合線上的線，又是齒形與節曲線的交點，且位於兩齒輪中心連線上。當齒輪副轉動後，齒形上的4'與其共軛齒形相切。相切點的公法線4-4'上的4點（節曲線上的點）將落在中心連線IV點位置。因4和4'點位於一剛體上，故△O44'是一剛體三角形。當它繞O點轉動、4點落在IV點時，4'的新位置4''即所求的齒形齧合線上的點。同理可求出齒形齧合線上的點1''、2‘’、5‘’、6‘’、7‘’……。點1''、2''、3''、4''、5''……的軌跡即齒形齧合線 ^[2]  。

（2）解析法

如右圖3所示，設直角座標系Oxy的原點O取在非圓齒輪的迴轉中心。兩齒輪的中心連線與x軸的夾角

=常量。左齒形上某點n的齒形法線與節曲線交於a點。當齒輪轉過

角、a點落在中心連線上時，齒形上的n點與其共軛齒形上的對應點相切 ^[2]  。這時的n點位置即齒形齧合線上的點，其座標值

和

可表示齒形齧合線：

式中：

——齒形上n點的向徑；

——向徑與x軸的夾角。

右圖4表示兩齒輪的一對齒正在齧合，並設

為主動輪

的節圓；

為從動輪

的節圓；NN為齧合線。若

輪反時針方向轉動，則兩齒開始接觸時，必是

輪齒根部的一點和

輪齒頂上的a點相遇，這時的接觸點位置就在

輪齒頂和齧合線的交點K；兩齒終止接觸，即將分開時，必是

輪齒頂部的b點和

輪齒根部的一點相遇，這時的接觸點位置就在

輪齒頂圓和齧合線的交點

。因此，圓中的一對齒齧合時，接觸點在齧合線上經過了KL的一段線，線段KL叫做齧合線的長度。

將K和a點與中心

連接，又將b和L點與中心

連接，可得到中心角

和

。

顯然，

是輪

從兩齒在K點開始接觸到圖示位置為止所轉過的角度。這個角度

所決定的節圓弧長mn是從兩齒開始接觸到圖示位置為止，節圓

和

所滾過的弧長 ^[3]  。

同樣，輪

須轉過

以使兩齒離開齧合，即節圓須滾過一段弧長qp。所以在這一對齒齧合的過程中，節圓

和

共滾過了弧

，這一段節圓的弧長s叫做齧合弧。齧合弧的長度s也可以不用作圖方法，而按公式計算求得：

式中

是齧合長度；

是齧合線傾斜角。

在右圖5中，設齒輪的節圓是

，節圓半徑是

，NN是齧合線，線段KL是齧合線長度，

是基圓半徑，P是齧合節點。當一對齒在齧合過程中，接觸點經過KL長度，而齒輪

轉過

角。對應齒輪轉過的角

，基圓應轉過一段弧長

；而節圓轉過的弧長

。

但是從圖上畫有陰影線的三角形可看出：

所以

。

把齧合弧長度和齒輪周節相比較，如

就表示在一對齒離開齧合（節圓滾過了弧s）時，後一對齒方才開始齧合（節圓滾過了周節t表示後一對齒代替前一對齒）。同時齧合的齒的對數越多，齒輪的轉動就越平滑，因此比率

可以代表齒輪轉動的平滑程度，我們把它叫做交接係數。交接係數不得小於1，否則前一對齒輪已經脱齧合，後一對齒還沒有進入齧合，齒輪就不可能連續的進行工作，這是絕對不允許的。交接係數應該取大於1的數，在粗傳動（低速傳動，不加工的齒輪）取

。