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齊次一階微分方程

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形如y'=f(y/x)的一階微分方程，稱為齊次一階微分方程。齊次微分方程是一個微分方程，如果它的一個解乘以任意常數後，仍是它的解，則稱為齊次微分方程。對一階線性微分方程來説，右端(即不含未知函數及其導數的項)不為零的方程y′+p(x)y= q(x)稱為非齊次方程；與此對應的，右端q(x)=0的方程y′+p(x)y=0，稱為對應的齊次方程。此外，當微分方程的左端是以自變數，未知函數作為變元的齊次函數時，也稱為齊次方程。
中文名
齊次一階微分方程
外文名
homogeneous differential equation of first order
所屬學科
數學
相關概念
齊次方程，微分方程等

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 一般解法

齊次一階微分方程基本介紹

如果對任何
都有
，則稱
是x和y的齊次函數，如果取
，則
。這就是説齊次函數
可改寫為
的形式。
一階微分方程
(其中，
為齊次函數)就叫做齊次(一階微分)方程。或者説，方程
是齊次方程。此外，如果在微分方程的每一項中，因子x和y的冪次的總和都是相等的，則該方程就是齊次方程。
例如
都是齊次方程。事實上，式(2)各項同除x，式(3)各項同除以
，則式(2)和(3)可分別化為
或
和
或
另外，方程
也是齊次方程。事實上，方程(4)右端分子和分母同除以x，則得到齊次方程 [1] 

齊次一階微分方程一般解法

關於齊次方程
的一般解法如下 [1]  ：
令
所以
，代入方程(1)，得
即有
方程(2)為可分離變量方程，於是
方程(3)兩端積分，得
上述等式可改寫為
把
代入式(4)，則得到方程(1)的隱式通解
例1求方程
的通解。
解：方程
，令
，所以
，於是方程變為
，即
，所以
。積分得通解
，即
。也可以把方程的隱式通解
改寫為顯式通解。事實上，因為
，所以
。
參考資料
  • 1.    吳元愷主編；張永林，羅義全編．高等數學 上：四川科學技術出版社，1986.06