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齐次一阶微分方程
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本词条由
“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目
审核 。
形如y'=f(y/x)的一阶
微分方程
，称为齐次一阶微分方程。齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为
齐次微分方程
。对
一阶线性微分方程
来说，右端(即不含未知函数及其导数的项)不为零的方程y′+p(x)y= q(x)称为
非齐次方程
；与此对应的，右端q(x)=0的方程y′+p(x)y=0，称为对应的
齐次方程
。此外，当微分方程的左端是以自变数，未知函数作为变元的齐次函数时，也称为齐次方程。
中文名
齐次一阶微分方程
外文名
homogeneous differential equation of first order
所属学科
数学
相关概念
齐次方程，微分方程等
目录
1
基本介绍
2
一般解法
基本介绍
播报
编辑
如果对任何
都有
，则称
是x和y的
齐次函数
射旬探雅愉汽，
如果取
，则
。这就是说齐次函数
可改写为
的海立驼杠欢拜酷形式。
一阶
微分方程
(其中，
为齐次函数)就叫做
齐次(一阶微分)方程
。或者说，方程
是齐次方程。此外，如果在微分方程的每一项中，因子x和y的幂次的总和都是相等的，则该方程就是
齐次方程
。
例如
都是齐次方程。事实上，式(2)各项同除x，式(3)各项同除以
，则式(2)和(3探境元)可分试去坑别化为
浆舟或
欢婆和
或
另外，方程
也是齐次方程。事实上，方程(4)右端分子和分母同除以x，则得到齐次方程
[1]
一般解法
播报
编辑
关于齐次方程
的一般解法如下
[1]
：
令
所以
，代入方程(1)，得
即有
方程(2)为可分离变量方程，于是
方程(3)两端积分，得
上述等式可改写为
把
代入式(4)，则得到方程(1)的隐式通解
例1
求方程
的通解。
解：
方程
，令
，所以
，于是方程变为
，即
，所以
。积分得通解
，即
。也可以把方程的隐式通解
改写为显式通解。事实上，因为
，所以
。
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