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點覆蓋
鎖定
點覆蓋定義
點覆蓋相關定義
點覆蓋最小點覆蓋
最小點覆蓋:就是中點的個數最少的S集合。普通圖的最小點覆蓋數只能用搜索解。
結論:二分圖的最小點覆蓋數=該二分圖的最大匹配數。
點覆蓋最小邊覆蓋
邊覆蓋的概念定義:邊覆蓋是圖的一個邊子集,使該圖上每一節點都與這個邊子集中的一條邊關聯,只有含孤立點的圖沒有邊覆蓋,邊覆蓋也稱為邊覆蓋集,圖G的最小邊覆蓋就是指邊數最少的覆蓋,圖G的最小邊覆蓋的邊數稱為G的邊覆蓋數。
結論:二分圖的最小邊覆蓋數=圖中的頂點數-(最小點覆蓋數)該二分圖的最大匹配數。
點覆蓋最大匹配
匹配:在圖論中,一個「匹配」(matching)是一個邊的集合,其中任意兩條邊都沒有公共頂點。
最大匹配:一個圖所有匹配中,所含匹配邊數最多的匹配,稱為這個圖的最大匹配。
算法:匈牙利算法求二分圖的最大匹配。
點覆蓋最小路徑覆蓋
DAG圖的最小路徑覆蓋可以轉化為二分圖後求解。
點覆蓋最大獨立集
最大獨立集:在N個點的圖G中選出m個點,使這m個點兩兩之間沒有邊的點中,m的最大值。
結論:二分圖的最大點獨立數=點的個數-最小點覆蓋數(最大匹配) 。
證明:除過最小點覆蓋集,剩下的點全部都是互相獨立的,因為它們任意兩個點之間都沒有直接的連邊。
我們用反證法來證明一下,設最小點覆蓋集為V,假如有兩個沒在V中的點之間有一條邊,那麼這條邊就不會被V中的點所覆蓋,那麼V就不是最小點覆蓋集,又因為V是最小點覆蓋集,所以剛才假設的兩個點時不存在的,除過V之外的點都是兩兩相互獨立的。
點覆蓋例子
- 完全二部圖Km,n的頂點覆蓋數為min(m,n),邊覆蓋數為max(m,n)。
點覆蓋性質
- 圖的頂點數目等於頂點覆蓋數與最大獨立集合的大小之和(Gallai 1959)。
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