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麥克威廉斯定理
鎖定
麥克威廉斯定理(MacWilliams theorem)是關於編碼理論中的一個重要結論，它給出了
線性碼C與它的
對偶碼C
⊥的
重量計數子之間的相互聯繫，這個定理由麥克威廉斯(F.J.MacWilliams)於1962年得到，範·林特(J.H.van Lint)於1971年利用特徵標理論給出了該定理的一個簡潔證明，若C
⊥的重量計數子已知，則該定理給出了關於n+1個未知數A
0，A
1，…，A
n的n+1個方程的
線性方程組，從而可解方程組求得線性碼C的重量計數子。
- 中文名
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麥克威廉斯定理
- 外文名
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MacWilliams theorem
- 所屬學科
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數學（組合設計）
- 簡 介
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關於編碼理論中的一個重要結論
- 提出者
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麥克威廉斯(F.J.MacWilliams)
麥克威廉斯定理基本介紹
編碼理論中一個最基本的結論是屬於F.J.MacWiUiams(1963)的，它給出了一個線性碼的
重量計數子與其
對偶碼的重量計數子之間的關係。
定理設C是F
q上一個[n，q]碼，重量計數子為A(z)，又設B(z)是C
⊥的重量計數子，那麼
[1]
麥克威廉斯定理麥克威廉斯定理的證明
設
是(F
q，+)的任意一個非平凡特徵標。令
，我們定義
若
v∈C
⊥，則內和是|C|，若
v∉C
⊥，則內和<
u，
v>取到F
q中每個值的次數相同，即內和為0。所以
把重量函數推廣到F
q上：若v=0，則記w(v)=0，否則記w(v)=1。那麼令
u=
，
v=
後，我們由g(
u)的定義得
在最後的表達式中，內和當
ui=0時等於1+(q-1)z，當
ui≠0時等於
- 參考資料
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1.
（荷）J.H.van林特．編碼理論導引：科學出版社，1988年03月第1版：第44頁
