馬爾可夫方程

不定方程稱為馬爾可夫方程。

求解方法如下：

先憑觀察找出(x1,x2,x3) = (1,1,1)這組先憑觀察找出(x1,x2,x3) = (1,1,1)這組解。

方程可視為一個x3為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知(x1,x2,3x1x2 − x3)　（留意）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（Markov number），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫方程的解馬爾可夫數可以排成一棵二叉樹。

在二叉樹上，和1的範圍相鄰的數（即2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數（斐波那契數的定義為F0 = 0,F1 = 1,Fn: = Fn − 1 + Fn − 2，即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89...）。這是説(1,F2n − 1,F2n + 1)都是此方程的解。

和2的範圍鄰接的數（即1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數（佩爾數的定義為P0 = 0,P1 = 1,Pn: = 2Pn − 1 + Pn − 2，即1, 2, 5, 12, 29, 70, 169... ）。

每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數z使得(a,b,z),(c,d,z)都是方程的解，其中a,b,c,d是兩兩相異的正整數，且a>b>z,c>d>z）。

馬爾可夫-赫爾維茨方程（Markoff-Hurwitz equation），是指形式如的不定方程，其中a,n是正整數。

赫爾維茨證明方程有(0,...,0)之外的解唯若。