非線性科學若干前沿問題

是一本簡明概括地介紹非線性科學的專著，由國家“973計劃”項目“非線性科學中的若干前沿問題”相關學者結合非線性科學中各個前沿方向的研究寫作而成，對非線性科學中的若干前沿研究領域進行了系統而深入的介紹。全書內容包括：KAM理論與Arnold擴散；孤立子與可積系統；分形幾何；斑圖演化的動力學；動力系統；符號序列的複雜性分析；可微動力系統遍歷理論基礎；非平衡定態、隨機共振和分子馬達。

《非線性科學若干前沿問題》可供非線性科學相關研究人員以及有一定數理基礎並對非線性科學感興趣的讀者閲讀參考。

序

前言

第1章 KAM理論與Arnold擴散

1.1 緒論

1.1.1 辛流形和Hamilton系統

1.1.2 完全可積與近可積系統

1.1.3 攝動方法——平均法

1.2 KAM定理

1.2.1 經典的KAM定理

1.2.2 低維KAM定理

1.2.3 共振情形下的KAM定理

1.2.4 廣義Hamilton系統的KAM定理

1.2.5 廣義Hamilton系統的有效穩定性

1.3 Arnold擴散與不穩定性

1.3.1 引言

1.3.2 正定Lagrange系統的變分框架

1.3.3 局部連接軌道的存在性

1.3.4 全局連接軌道的變分構造

1.3.5 通有性證明

1.4 軌道擴散與不變環面的粘滯性

1.4.1 軌道擴散

1.4.2 不變環面的粘滯性

參考文獻

第2章 孤立子與可積系統

2.1 概述

2.1.1 孤波與孤子

2.1.2 可積系統

2.2 有限維可積系統

2.3 Schrodinger方程的反散射理論

2.3.1 概述

2.3.2 Jost解

2.3.3 基本散射公式

2.3.4 散射數據

2.3.5 Gelfand-Levitan-Mrachenko方程

2.3.6 無反射位勢

2.3.7 Bargmann系統

2.3.8 反射係數不為零的情形

2.4 KdV方程的孤子解

2.4.1 KdV方程

2.4.2 GGKM演化定理

2.4.3 初值問題的反散射解法

2.4.4 雙孤子的相互作用

2.4.5 Ⅳ孤子解

2.5 KdV方程的完全可積性

2.5.1 無窮守恆律

2.5.2 Zakharov-Faddeev跡公式

2.5.3 廣義Hamilton正則方程與完全可積性

2.6 各種孤子方程及解法簡述

2.6.1 Lax方程與零曲率方程

2.6.2 Ⅳ帶勢解

2.6.3 其他重要方法舉例

2.7 有限帶解

2.7.1 基本恆等式

2.7.2 KdV方程族與Lenart序列

2.7.3 特徵值問題的非線性化

2.7.4 守恆積分的對合性

2.7.5 KdV方程族的分解

2.7.6 守恆積分的函數獨立性

2.7.7 Hk流的拉直

2.7.8 反演、概週期解

2.8 孤立子實驗

2.8.1 非傳播水波孤立子

2.8.2 離散系統中的孤立子

2.9 孤立子方程的建立

2.9.1 非傳播水波孤立子方程

2.9.2 一維非線性單擺鏈系統中包絡孤立子方程

2.10 孤立子和缺陷的相互作用

2.10.1 理論和數值研究

2.10.2 實驗觀察

參考文獻

第3章 分形幾何——它的內容、意義和方法

3.1 引言

3.2 分形的特徵

3.2.1 光滑函數的圖像分析

3.2.2 vonKoch曲線（雪花曲線）

3.3 測度與維數

3.3.1 尺度的臨界性質

3.3.2 測量方式

3.3.3 雪花曲線的情形

3.4 兩種測量方式：覆蓋與填充

3.4.1 Hausdorff測度與Hausdorff維數

3.4.2 Hausdorff測度與Hausdorff維數的基本性質

3.4.3 維數的幾何意義

3.4.4 填充測度與填充維數

3.4.5 兩種測度與維數的比較

3.4.6 兩點註記

3.5 其他測度與維數

3.5.1 拓撲維數

3.5.2 Minkowski容度與Minkowski維數

3.5.3 相似維數

3.5.4 容量維數

3.5.5 測度的維數

3.5.6 Fourier維數

3.5.7 Besicovitch-Taylor維數

3.6 進一步的討論

3.6.1 廣義自相似集

3.6.2 分形的定義

3.6.3 隨機的作用與分形模型

3.6.4 有效維數與物理意義

3.6.5 標度律與分形

3.7 進一步閲讀材料

參考文獻

第4章 斑圖演化的動力學

4.1 引言

4.2 混沌：初值敏感性

4.3 斑圖動力學

4.4 固體損傷破壞斑圖的動力學複雜性

4.5 損傷斑圖演化的跨尺度耦合理論

4.5.1 基於細觀損傷表象的統計細觀損傷力學

4.5.2 基於細觀物質單元表象的統計細觀損傷力學

4.6 損傷局部化——損傷斑圖向損傷局部化斑圖轉變

……

第5章 動力系統——從有限維到無窮維

第6章 符號序列的複雜性分析

第7章 可微動力系統遍歷理論基礎

第8章 非平衡定態、隨機共振和分子馬達

現代科學技術的發展、各學科之間的交叉融合正在改變着傳統學科之間的界限和研究方法。由於基礎學科和應用學科的發展，它們在經歷了“線性化”一個富有成果的發展時期後，必然地要提出研究非線性問題。通過對各學科中非線性問題的深入研究和學科之間的交叉，逐步發現了存在於不同學科、具有共性的非線性現象，從而開始形成“非線性科學”這一新興交叉學科，它所研究的是廣泛存在於各學科中的非線性相互作用所提出的共性問題。

非線性科學於20世紀60年代興起後得到了快速的發展。從20世紀90年代起，非線性科學進入學科內涵基本確定後的穩定發展時期，在對一些問題進行深入研究、將有關成果應用到其他學科的同時，也出現了非線性科學中新的研究方向。

我國非線性科學的研究儘管起步稍晚，但由於及時瞄準跟蹤國際前沿，並注意自己的研究特色，經過國家攀登計劃“八五”、“九五”和國家“973計劃”期間近十五年的研究，我國的非線性科學研究有了很大的發展，水平也有了很大提高，在全國已經形成了一個比較穩定的非線性科學研究隊伍。更令人感到高興的是，在這支隊伍中一批年輕的學者已經成長起來，使我國的非線性科學研究後繼有人。