非線性碼

不滿足線性疊加原理的糾錯碼。按照碼元取值的不同可分為q(>2)進制和二進制碼；按照碼的結構不同可分為系統碼和非系統碼；按照對信息元處理方法的不同可分為非線性組碼和非線性組碼。但研究工作還僅侷限於非線性分組碼。符號取自GF(q)域上的n維矢量，若它們二個矢量之間的最小距離為d,且不滿足線性疊加原理，則由這些n維矢量組成的、有M個碼字的集合稱為【n,M，d】非線性分組碼。

若一個【n，M，d】非線性系統分組碼的碼字為(C₀，C₁，…，Cn-k-1，Cn-k，…Cn-1)，其中C n-k～C n-1為信息元，則校驗元為Cn-k-i=f_i(Cn-k，…,C n-1)　 (i=1，…，n-κ)。用不同的非線性函數f_i，得到不同的非線性碼。如n=3，κ=2,且c₀=f(c₁，c₂)=c₁c₂,則得到【3,4,1】碼的四個碼字為(000)，(100)，(010)，(111)。它們並不能滿足封閉性。一般情況下，可以通過各種組合方法，由幾個性能好的短碼構成長的非線性碼，或用線性碼經過各種變換得到非線性碼。非線性碼的譯碼也可以用類似於線性碼的譯碼方法進行，但通常比線性碼的譯碼困難，故使用得不多。

研究非線性碼主要應用現代代數、組合數學、圖論等數學工具，但並沒有形成嚴格而完整的體系。在同樣碼長n和最小距離d下，非線性分組碼的碼字個數M，通常比線性分組碼至少要多一倍，且M不一定等於q或2,因此非線性碼的研究往往同研究完備碼和準完備碼結合在一起。非線性分組碼的另一個重要特點是碼的重量分佈與距離分佈並不一定相同，如上例的【3，4，1】碼。