霍普夫

霍普夫(1張)

霍普夫（Heinz Hopf，1894—1971）1894年11月19日生於德國佈雷斯勞(今波蘭符勞斯瓦夫)；主要成就在代數拓撲和整體微分幾何方面，對球面同倫和向量論有重要貢獻。此外，對數論亦有研究 ^[1]  。

霍普夫的青年時代在家鄉度過，1914年入佈雷斯勞大學學習，由於第一次世界大戰爆發，旋即被徵入伍。

1917年夏天休假時，他大膽地去聽E．施密特(Schmidt)集合論的課程，其中講述L．E．J．布勞威爾(Brouwer)用連續映射度證明維數不變性。這次聽講決定了他未來數學的方向。

1920年，他先後在柏林大學、海德堡大學及格丁根大學繼續求學。

1920年，施密特到柏林大學任教授，霍普夫跟着他學習。在施密特的指導下，1925年霍普夫在柏林大學獲博士學位 ^[1]  ，論文題目是“論流形的拓撲與度量的關係”(ber Zusammenhnge zwisc－hen Topologie und Metrik von Mannigfaltigkeiten)。

1925年，他到哥廷根大學進修一年，受到E．諾特(Noether)的強烈影響，並結識蘇聯來的數學家П．С．亞歷山德羅夫，兩人結下終身友誼。

1926年，他在柏林大學取得授課資格，任講師。

1927—1928年冬季學期，他和亞歷山德羅夫在洛克菲勒基金會的資助下，到普林斯頓大學訪問。當時，普林斯頓由於О．維布侖(Veblen)、S．萊夫謝茨(Lefschetz)及J．W．亞歷山大(Alexander)的工作已成為世界拓撲學的一箇中心。霍普夫同他們的交往使他獲益匪淺。他在美國發表兩篇論文，推廣萊夫謝茨不動點的工作，並開始研究同倫映射問題。

1928年夏天，他和亞歷山德羅夫又在哥廷根聚首，每個人開一門課，而且共同組織拓撲問題討論班。這時R．庫朗(Courant)邀請他們為他主編的“黃皮叢書”撰寫拓撲學，他們接受了邀請，但是低估了其困難，兩人花了七年時間，《拓撲學》第一卷(Topologie I)才得以在1935年問世，而預期的第二卷則因種種原因根本無法提到議事日程。

1931年，霍普夫被瑞士蘇黎世理工大學聘為正教授，從此在瑞士創建一個拓撲學的中心。20多年間培養了許多人才，例如E．施蒂費爾(Stiefel)、B．埃克曼(Eckmann)、W．吉森(Gysin)、H．薩梅爾森(Samelson)等都是拓撲及其他領域的專家。霍普夫也成為第二次世界大戰前後歐洲拓撲學最有影響的權威。其間，他積極參與國際數學活動，從1932年蘇黎世到1966年莫斯科，他參加了歷屆國際數學家大會，而且從1955—1958年擔任國際數學聯盟主席。

1935年，他參加莫斯科國際拓撲學大會，結識了當時所有的大家。

1950年他參加慶祝F．塞韋裏(Severi)70壽誕的國際會議，這是戰後第一次國際數學家的大型聚會。經過15年的滄桑，他與老朋友亞歷山德羅夫再度相逢，共度一段幸福時光。

他於1964年退休，1967年夫人去世後，他的健康也逐步變壞。1971年4月，重病住院，再也沒能恢復。

霍普夫一生髮表近70篇論文，合著《拓撲學 I》一書，他的《整體微分幾何》(文獻[6])講演筆記於1983年出版。

霍普夫的主要貢獻分述如下．

1．代數拓撲學

(1)把羣引入組合拓撲 霍普夫在諾特的影響下，正式把抽象代數引入拓撲學。原來的工具是線性代數——矩陣和行列式，他把它們轉化為阿貝爾羣及其同態。由此，原來的貝蒂(Betti)數及撓係數納入阿貝爾羣之中而成為同調羣。這個概念首先出現在他1928年推廣萊夫謝茨的不動點公式的論文“歐拉－龐加萊公式的推廣” (Eine verallgemeinerung der Euler Poincaré)中。在他與亞歷山德羅夫合著的《拓撲學 I》中，他們系統總結了當時的點集拓撲及代數拓撲的理論，特別是C．若爾當(Jordan)定理，區域不變性定理、對偶定理、映射度、不動點定理及向量場理論。但就在1935年，隨着上同調、同倫論、纖維叢的引進，拓撲學的面貌發生了巨大的改變。

(2)同倫論 霍普夫是同倫論的奠基者之一。在他之前，H．龐加萊(poincaré)引進的基本羣是第一個同倫羣，布勞威爾利用拓撲度及映射類證明了一些定理。但是，基本羣一般不一定是阿貝爾羣而與其他同倫羣大相徑庭。布勞威爾只是用拓撲度及映射類作為工具，而對映射類本身並沒有研究。真正從拓撲角度來研究同倫論的是霍普夫。他明確提出兩空間映射的同倫等價關係，證明同維數球面Sn之間的映射的唯一的同倫不變量就是布勞威爾度。

1931年，他對S3到S2的映射的同倫類的工作引起了轟動。原來一般認為所有映射都同倫於常數映射，結果他證明有可數無窮多，他通過霍普夫映射具體構造出這些類，並引進這些映射的霍普夫不變量的概念。一般認為，這個結果標誌着同倫論的誕生。它直接影響W．胡爾維茨(Hurewicz)在1935—1936年間定義同倫羣的概念，霍普夫構造法也直接引導到纖維空間同倫羣的研究。後來，荷蘭數學家H．弗洛登塔爾(Freudenthal)綜合霍普夫及胡爾維茨的研究，證明霍普夫分類的完備性並發現懸垂映射。從此同倫論成為拓撲學中一個熱門。霍普夫在1935年也把上述結果推廣到S2n－1到Sn的映射中去，從而產生廣義霍普夫不變量。

除了同倫羣之外，霍普夫還研究由n維多面體到Sn的映射的同倫分類問題，其後這導致上同倫羣的研究。1933年他對這種情形證明只用同調方法即可完全分類。在這篇論文中霍普夫刻畫同倫類集合[X；Sn]的元素，其中X是n維有限單純複合形，他證明f，g屬於同一類當且僅當它們定義相同的同態：Hn(X；Z)→Hn(Sn；Z)及Hn(X；Z/mz)→ Hn(Sn；Z/mz)(m≥ 2)。

(3)羣流形 1939年起，霍普夫試圖把李羣的結果推廣到一般情形，引進H流形及H空間的概念。H流形是具有幺元的連續乘法的緊流形。1941年，他證明H流形具有多項式上同調環，每個生成元均為奇數維。這推廣了當時已知的四大類典型李羣的同調的結果。他完全用同調表述他的結果，工具是逆同態。似乎霍普夫不喜歡上同調，也從來沒有用過它。他還應用上述理論證明緊李羣G的秩(極大環面T的維數)等於外代數H*(G；Q)的生成元的數目，且G/T的歐拉示性數等於G的外爾(Weyl)羣的階。

(4)同調代數 霍普夫是同調代數奠基人之一，他於1941年引進第一個羣的同調的例子。他的研究來源於胡爾維茨1936年的一個結果。如果一個多面體的高維同倫羣均平凡，則其基本羣唯一決定其同調羣。霍普夫得出2維同調羣的具體結果：如X是連通單純複合形，π1(X)=G，且所有高階同倫羣均為O，則對任何G的表示序列O→R→F→G→O，其中F為自由羣，[F，R]為F與R生成的換位子羣。這實際上是G的同調羣，只是沒有名稱。在後來的論文中，霍普夫繼續引進同調代數的工具——自由消解序列來求高階羣的同調。

2．微分幾何

(1)整體微分幾何 雖説霍普夫的主要貢獻是拓撲學，但他的主要興趣是幾何學，特別是整體微分幾何學。亞歷山德羅夫認為，他最關心的課題是“整體微分幾何學中的拓撲問題與拓撲學中的幾何問題”，即拓撲與幾何的邊緣地帶。當時，局部微分幾何學已發展成熟，但拓撲學的工具還不具備。因此，整體微分幾何學方興未艾。其中最主要的問題自然是局部及整體關係的問題，這也構成他的博士論文的主題。他的博士論文後來分成兩部分發表，一部分是“論克里福德－克萊因空間問題”(Zur Clifford－Klei－nschen Raumproblem)，另一部分是“論閉超曲面的全曲率”(berdie Curvatura integra geschlossener Hyperflchen)。前者繼續W．基靈(Killing)的工作，對於三維單連通常曲率完備黎曼流形從整體上等距於歐氏空間、球狀空間或雙曲空間這個基本定理給出一個嚴密的證明，並且通過構造一系列球狀空間型完成其分類。

他對整體微分幾何的另一個貢獻是引進完備性概念，後來同W．林諾(Rinow)一起更確切地引進完備曲面的概念。

(2)W曲面 霍普夫研究W曲面，即三維空間中的曲面，每點兩個主曲率k1，k2之間存在關係W(k1，k2)=0

1950年，他推廣H．李伯曼(Liebmann)在1900年證明的一個定理，證明在所有虧格為0的閉曲面中，球面是唯一具有常中曲率曲面。這裏他去掉了凸性假設。

解析的W曲面，臍點處x只取以下諸值。

0，∞；－1，3±1，5±1，…，(2m+1)±1，…．

(3)複流形 霍普夫是首先對複流形進行研究的數學家之一。他最早證明不是所有閉、偶數維定向流形都允許復結構，甚至連近復結構也沒有。如球面S4，S8等。他還引進新的複流形如S2m－1×S′。

1948年，他引入著名的霍普夫曲面，它是非代數曲面也非環面的解析曲面，通過它的構造，還得出一系列非代數解析曲面。

1955年，他引入霍普夫σ過程，通過這個過程對於復解析曲面進行局部變換，使所得曲面有更好的性質。這是代數幾何相應變換的推廣。

3．其他

霍普夫對數論也有多種研究，對拓撲羣的端，以及點集拓撲也有論述。

最後我們引用陳省身為《整體微分幾何》所寫的序言的一段來概括霍普夫的工作：“霍普夫是一位能通過特款發現重要數學思想和新的數學現象的數學家，在最簡單的背景中，問題的核心思想或其難點，通常變得十分明澈，霍普夫的數學表述是精確性和明澈性的典範。”