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零值定理
鎖定
零值定理為介值定理的推論.又名零點定理.其內容為:設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與 f(b)異號(即f(a)× f(b)<0),那麼在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點,即至少有一點ξ(a<ξ
- 中文名
- 零值定理
- 外文名
- Zero theorem
- 別 名
- 零點定理
- 類 別
- 介值定理的推論
- 證 明
- 閉區間套定理等
- 學 科
- 數學
零值定理釋義
零值定理為介值定理的推論.又名零點定理或勘根定理.其內容為:設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與 f(b)異號(即f(a)× f(b)<0),那麼在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點,即至少有一點ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0.
[1]
零值定理幾何意義
零值定理證明過程
不妨設f(a)<0,f(b)>0.令E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}
由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個上界,於是根據確界存在原理,存在ξ=supE∈[a,b].
下證f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a,b)).
事實上,
(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函數連續的局部保號性知存在δ>0,對x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,這與supE為E的上界矛盾;
(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函數連續的局部保號性知存在δ>0,對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界,且x1<ξ這又與supE為E的最小上界矛盾.
綜合(i)(ii),即推得f(ξ)=0.
零值定理定理應用
該定理廣泛應用在二次函數根的分佈習題中.