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雙設法

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雙設法,在阿拉伯曾稱為契丹算法,13世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的,這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。
中文名
雙設法
別    名
契丹算法

雙設法術語簡介

雙設法的問題,實質上是已知兩點求通過兩點的直線方程。

雙設法雙設法與盈不足術

在凱拉吉之後,十二世紀的意大利數學家斐波那契從阿拉伯人那裏習得算學,著書《算經》。此書的第十三章討論了兩種“契丹算法”。斐波那契在書中提到兩種契丹算法,顯然第一種契丹算法——“雙設法”與凱拉吉的雙設法相同,而第二種“契丹算法”即“盈不足術”,其中術語“試錯”對應的是“所出率”,“假令”對應的是“不足”或“盈”。
根據斐波那契在《計算之書》中的記載,把雙設法與盈不足術都稱為契丹算法。第一種契丹算法——雙設法,與凱拉吉的雙設法相同,而第二種契丹算法——盈不足術與中國古代的數學方法——盈不足術是相同的。在《計算之書》中,“契丹”正是當時西方對中國的稱呼,由此很多學者認為雙設法來源於中國。那麼凱拉吉這種解線性方程組的方法——雙設法究竟能不能看作是盈不足術呢?是否來源於中國?《九章算術》中將盈不足術分“兩盈”、“兩不足”、“一盈一足”三種情形。凱拉吉的這個線性方程組兩次假設都“不足”。我們將盈不足術中兩不足情形與凱拉吉的雙設法進行比較。
雙設法與盈不足術確有相似之處,這兩種方法都是兩次假設,假設都是可盈可不足。然而從數學思想上來看,如斐波那契所説,雙設法是一種四項比例算法,即已知其中的三項,來求未知項。而盈不足術是一種程序化、模式化的算法。二者是不相同的。從問題的數量關係上看,《九章算術》中盈不足章的問題多是二元一次方程組。而凱拉吉解的方程組屬於三元一次方程組。
雙設法與盈不足術並不等同,不能説雙設法就是盈不足術。凱拉吉的這個線性方程組問題本身,應該受到丟番圖的《算術》的影響,但是《算術》所遺留下來的手稿,並沒有保存對這類問題的解法。那麼凱拉吉對方程組的解法出自何人,竟是受到丟番圖影響,還是受“盈不足術”的啓發或影響,不能斷言,還有待於對《發赫裏》這部著作進行整體的、更進一步的研究。

雙設法盈不足術的發展

《九章算術》的盈不足章的最前四個問題是正規的盈虧問題。而第五題是“兩盈”問題,第六題是“兩不足”問題則分子就得相減了,都是“以少減多”來進行的,第七題是“盈、適足”,第八題是“不足,適足問題。它們的解法也可以在盈不足術的基礎上分別提出適當的公式。
盈不足章的第9到第20題,是一般的算術應用題,有些問題還相當難,初學者不易解答。如果通過兩次假設(分別各假設一個答數)然後分別驗算其盈餘和不足的數量,這樣任何算術問題都可以改造成為一個盈虧問題來解。因此盈不足術是中國數學史上解應用問題的一種別開生面的創造,它在我國古代算法中佔有相當重要的地位。盈不足術還經過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家,受到特別重視,被稱為“契丹算法”,後來又傳入歐洲,中世紀時期“雙設法”曾長期統治了他們的數學王國。