雙曲型偏微分方程

雙曲型偏微分方程簡稱雙曲型方程，是偏微分方程的一種類型。它主要用於描述振動、波動現象與相應的運動過程。它的一個典型特例是波動方程和n=1時的波動方程。可用來描述弦的微小橫振動，稱為弦振動方程。這是最早得到系統研究的一個偏微分方程。

雙曲型方程主要是按偏微分方程的係數特性來介定的。當自變量個數或方程的階數不同時，雙曲型方程可以有不同的定義方式。

對於二階線性偏微分方程

其中，

，則若係數矩陣

在某點

的慣性指數為一正

負，或一負

正，就稱該方程在

點為雙曲型的。如果該偏微分方程在區域

中每一點都是雙曲型的，則稱該方程在

中為雙曲型的。如果一個二階偏微分方程在

點為雙曲型的，則可以通過自變量變化將方程在這一點的主部

化為

這時變量

也常記為 t，稱為時間變量。

對於高階偏微分方程的情形，為了敍述簡明，以下僅對時間方向已確定的情形討論。在變量

變化的區域

中給定 m 階偏微分方程

(1)

其中，k是非負整數，

是 n 重指標，若在

，對任意的

，特徵方程

有 m 個不同的實根，則稱上述高階方程為雙曲型方程。

相應地，可以通過自變量的座標可以定義關於任意方向的雙曲型方程。按上述方式定義的雙曲型方程強調了特徵方程有 n 個單重實根，它也稱為嚴格雙曲型方程 (strictly hyperbolic equation)或稱完全雙曲型方程，彼得洛夫斯基意義下單雙曲方程。

雙曲型方程最重要的性質是其柯西問題的適定性。有時人們也用此來作為雙曲型方程定義的基礎，所以在高階方程的情形，也有將雙曲型方程定義為：若存在常數

，使得對每個

，包括低次項的關於變量

的方程

的解必滿足

，則稱方程（1）為雙曲型方程。這個定義比前一個定義要弱。可以證明，在這樣的定義下，雙曲型方程柯西問題的適定性仍成立。按這種定義，一個雙曲型方程的特徵多項式可以允許有多重實根出現，而且方程是否為雙曲型與該方程的低階項有關。

對於非線性雙曲型方程，雙曲型的定義一般要依賴於所考察方程的解。非線性雙曲型方程柯西問題光滑的存在性一般只能是局部的。它的解在有限時間內會產生奇性。 ^[1]