集總參數法

當物體的熱導率λ_s很大，表面積很大，表面傳熱係數h較小且厚度δ不大時，物體的內部導熱熱阻與表面傳熱熱阻相比可以忽略。此時物體中的温差不大，温度降落主要在物體表面。

由上述物理量可以組成畢渥數：Bi=hl_e/λ=內部導熱熱阻/外部傳熱熱阻

式中l_e為引用尺寸。對於無限大平壁l_e=δ/2；對於無線長圓柱體和球l_e=d/2=R（半徑）。

當Bi<<1時，物體符合用集總參數法簡化計算的條件。理論上可以證明，當Bi<0.1時，用集總參數法分析非穩態導熱問題誤差不超過5%。

當温度恆定時，設有一體積為V、傳熱表面面積為A、初始温度為t₀、常物性無內熱源的任意形狀的固體，突然置於温度為t₁（恆定）的環境中加熱或冷卻，物體表面與周圍環境的表面傳熱係數為h₀。假定此物體的內部導熱熱阻可以忽略，符合集總參數法簡化分析的條件。用導熱微分方程和定解條件求解。

由於物體內部的温度與座標無關，可得下式

Φ'/ρc

表面傳入的熱流量為：

Φ

內熱源強度為：

Φ'=Φ/V=

將上述公式整理，可得物體非穩態導熱的導熱微分方程：

這就是符合集總參數法簡化分析的物體非穩態導熱的導熱微分方程。

引入過餘温度：

導熱微分方程變成齊次方程：

初始條件

時：

對導熱微分方程分離變量並積分可得：

式中Fo便為傅里葉數。傅里葉數為無量綱常量。腳標“V”表示特徵尺寸l_c，具有長度的量綱。大平璧的特徵尺寸為δ/2；對於無線長圓柱體為R/2；球為3/R。

所以，集總參數法的判別式可變為：

其中M為特徵尺寸與引用尺寸的比值。對於無限長大平璧M=1；對於無線長圓柱體和正方形柱體M=1/2；對於球和正方體M=1/3。

由於

有時間的量綱，所以稱為時間常數，記為

。所以公式可變為：

由此可見，時間常數

表明內部熱阻可以忽略的物體突然被加熱或冷卻時，它以初始温度變化速度從初始温度

變化到周圍流體温度

所需要的時間。

時間常數

是一個綜合量，既反映物體熱容量的大小，又反映表面傳熱情況。顯然，時間常數小，表明物體表面傳熱好，且本身熱容量也小，因為温度變化快。但對於恆定的流體温度，如時間足夠長，則時間常數

的大小對測温準確性沒有影響。

如果要計算從初始時刻

到

時刻通過物體傳熱表面傳遞的熱量Q，根據Q的定義代入式，可得：

式中

，稱為物體的初始過餘熱焓，單位為J，它表示物體由初始温度

變化為環境温度

時所吸收或放出的熱量。 ^[1]