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集合環
鎖定
- 中文名
- 集合環
- 外文名
- ring of sets
- 所屬學科
- 集合論
- 簡 稱
- 集環
集合環定義
集環有很多等價定義
集合環基本介紹
集合E的全體子集之集P(E)的任一非空子集， 如果它對有限並及差的運算是穩定的，則稱它為集合E的集（合）環， 從而集環對於有限交運算亦是穩定的，例如，R上兩兩不相交的有界區間的有限並之全體構成R的集環，更一般地，Rn上兩兩不相交的有界長方體的有限並之全體構成Rn的集環，包含由集合E的子集所成的已知集合A的所有集環的交還是集環，稱為由A生成的集環。
集合環集合環的性質
集合環是一種常見的集合代數。若A為一非空集族，且對於任意A∈A，B∈A，均有A∩B∈A，A∪B∈A，則稱A在集合的交、並運算下成一集合環，記為〈A，∩，∪〉.其中A稱為集合環的基礎集族，∩與∪是集合環的運算.U=〈A，∩，∪〉是集合環的條件可以用符號表述為∀A∀B(A∈A∧B∈A→A∩B∈A∧A∪B∈A)
[2]
。
集合環有下列性質：
1.設U=〈A，∩，∪〉，A1，A2，…，An∈A，則：
2.設Ui=〈Ai，∩，∪〉(i=1，2)是集合環，則U1∩U2=〈A1∩A2，∩，∪〉也是集合環。例如，Ui=〈Ai，∩，∪〉(i=1，2)是集合環，當A1
A2時，稱U1是U2的子集環，U2是U1的母集環。
集合環集合代數
集合代數亦稱冪集代數，是一種特殊的集合族的代數。如果集族A的元素對於指定的某些集合運算封閉，這些運算滿足若干公理，就稱集族A關於這些運算在指定公理體系下成為一個集合代數。例如，集合環、集合域等都是集合代數。這裏A稱為這個集合代數的基礎集(族)，這些運算稱為集合代數的運算。
常見的集合代數如下：
1.對於集合的並運算封閉的集族A作成的並代數：〈A，∪〉。
2.對於集合的交運算封閉的集族A作成的交代數：〈A，∩〉。
3.集合環：〈A，∩，∪〉。
4.集合域：〈A，∩，∪，〉。
5.以全集I的冪集P(I)為基礎集的集合代數：〈P(I)，∩，∪，〉，“”表示集合的補運算，這種集合代數是一種布爾代數(參見“冪集代數”)。
集合代數與其他代數不同之點是：
1.它以集族為基礎集合。
2.它的運算是集合運算。
